Биссектриса

Биссектриса AD делит пополам угол A

Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла[1].

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

Связанные понятия

  • В любом треугольнике  , кроме внутренней или просто биссектри́сы, можно провести и внешние биссектри́сы, то есть биссектрисы углов, смежных с внутренними углами треугольника. При этом внутренняя и внешняя биссектриса одного и того же угла перпендикулярны.
  • Проведение в данном треугольнике всех трёх его внешних биссектри́с до их точек пересечения друг с другом в центрах вневписанных окружностей (соответственно  ) образует новый треугольник (см. рис.) — треугольник трёх внешних биссектрис. Это — новый треугольник центров вневписанных окружностей с вершинами  , которые касаются соответственно сторон   исходного треугольника.
  • Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
  • Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника  
  • Точка пересечения симедиан треугольника, образованного центрами его вневписанных окружностей   , является центром эллипса МандАра. Эту точку называют по-английски middlespoint, по-немецки — «Mittelpunkt». Она открыта в 1836-ом году Христианом Генрихом фон Нагелем (Christian Heinrich von Nagel).[2][3]

Свойства

 
Построение биссектрисы

Свойства точек пересечения биссектрис

  • Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.
  • Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
  • Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
  • Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же — инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.

Свойства, связанные с углами

  • Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
  • Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
  • Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
  • Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
  • В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
  • Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный.
  • У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
  • У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.

Свойства оснований биссектрис

  • Точка пересечения биссектрисы со стороной треугольника называется основанием биссектрисы.
 
  или  .
  • Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (то есть делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть   или  .
  • Теорема о биссектрисе — частный случай теоремы Штейнера.
  • Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
  • Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
  • Через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис .[4]

Свойства осей биссектрис

Другие свойства

Длина биссектрис в треугольнике

 
Биссектриса Треугольника ABC

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

 , где   — полупериметр.
 
 
 

Для трёх биссектрис углов  ,   и   с длинами соответственно   и  , справедлива формула[8]

 ,
 ,
  • Инцентр (точка пересечения трёх внутренних биссектрис треугольника) делит внутреннюю биссектрису угла   в отношении  , где  ,  ,   — стороны треугольника,

где:

  •   — стороны треугольника против вершин   соответственно,
  •   — внутренние углы треугольника при вершинах   соответственно,
  •   — высота треугольника, опущенная на сторону  .
  •   — длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне  ,
  •   — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса   делит сторону  ,
  •   — длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины   к продолжению стороны  .
  •   — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса   делит сторону   и её продолжение до основания самой биссектрисы.
  • Если медиана  , высота   и внутренняя биссектриса   выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса  , тогда[9]:p.122,#96
 

Длина частей биссектрис в треугольнике

  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно  , где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей, а γ — угол вершины C.
  • Формулы последнего пункта по сути дают длину части биссектрисы от вершины до точки их пересечения (до центра вписанной окружности или до инцентра).
  • Эту формулу и формулу для второй части внутренней биссектрисы можно также найти на основе следующего факта:
  • Инцентр делит внутреннюю биссектрису угла   в отношении  , где  ,  ,   — стороны треугольника.

Уравнения биссектрис

  • Если две смежные стороны треугольника записаны уравнениями   и  , то в явном виде биссектрисы представимы в виде функций [[1]]:
 

Мнемоническое правило (шуточное)

  • Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

См. также

Примечания

  1. Иванов А. Б. Биссектриса угла // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 496. — 576 с. — 150 000 экз.
  2. Kimberling, Clark (1994), "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle", Mathematics Magazine Т. 67 (3): 163–187, DOI 10.2307/2690608 .
  3. v. Nagel, C. H. (1836), Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise, Leipzig .
  4. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 105.
  5. Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  6. Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  7. Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100
  8. Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115—116.
  9. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.

Литература

  • Коган Б. Ю. Приложение механики к геометрии. — М.: Наука, 1965. — 56 с.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0.