Вневписанная окружность

Вписанная (с центром I) и 3 вневписанные (с центрами в J) окружности в

Вневпи́санная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У любого треугольника существует три вневписанных окружности (в отличие от единственной вписанной).

Существование и единственность вневписанной окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром такой окружности.

Свойства

Здесь используются обозначения:   — радиусы вневписанных окружностей с центрами  , касающиеся соответственно сторон   треугольника;   — полупериметр треугольника;   — радиус вписанной окружности;   — радиус описанной окружности.

  • Длина отрезка касательной, проведенной к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.
  • Площадь треугольника   последнее равенство по формуле Герона.[1]
  •  
  •  
  • Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника  
  • Барицентрические координаты  
  • Теорема Эйлера для вневписанных окружностей:  , где O — центр описанной окружности.
  •  
  • Радикальный центр вневписанных окружностей — центр Шпикера (центр вписанной окружности срединного треугольника).
  • Центры вписанной и вневписанных окружностей — неподвижные точки изогонального сопряжения.
  • Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
  • Три центра трех вневписанных окружностей данного треугольника образуют треугольник трёх внешних биссектрис.
  • Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные в точках их пересечения с тремя вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (следствие Теорем о вершинах подерного треугольника[2]).
  • На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с его сторонами, эти вневписанные окружности высекают равные отрезки.
 
Построение вневписанной окружности треугольника

Построение вневписанной окружности треугольника

Чтобы построить вневписанную окружность треугольника нужно[3]:

  1. Построить внешние углы для углов треугольника
  2. Провести биссектрисы построенных внешних углов до точки их пересечения. Точка пересечения биссектрис будет центром вневписанной окружности.
  3. Построить радиус окружности. Для этого провести перпендикуляр из точки пересечения биссектрис на продолжения одной из сторон.
  4. Провести окружность с центром в точке пересечения биссектрис и радиусом, равным длине построенного перпендикуляра.

Вневписанная окружность четырехугольника

Внеописанный четырёхугольник

  • Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника)[4]. Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис.
  • Замечание. Вписанную, описанную, а также вневписанную окружности можно провести не у всякого четырёхугольника. Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то условием его внеописанности является любое из двух условий ниже:
 

Литература

  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 44-48. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one // Mathematical Communications. — 2007. — Вып. 12.

Примечания

  1. Pathan, Alex, and Tony Collyer, "Area properties of triangles revisited, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 495—497.
  2. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 137-138, п. 126, теорема.
  3. Вневписанные окружности. Построение. Матвокс. Энциклопедия математики. mathvox.ru. Дата обращения 6 ноября 2018.
  4. Radic, Kaliman, Kadum, 2007, с. 33—52.

См. также