Гипербола Киперта

(перенаправлено с «Гипербола Киперта (математика)»)
Точка на гиперболе Киперта.
Гипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола Киперта проходит через вершины (A, B, C), ортоцентр (O) и центроид (G) треугольника.

Гипе́рбола Ки́перта — гипербола, определяемая по данному треугольнику. Если последний представляет собой треугольник общего положения, то эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через его вершины, ортоцентр и центроид.

Определение через изогональное сопряжение

Гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через точку Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника.

Определение через треугольники в трилинейных координатах

Определение через треугольники в трилинейных координатах[1]:

Если три треугольника XBC, YCA и ZAB построены на сторонах треугольника ABC, являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все они построены либо с внешней стороны, либо с внутренней стороны), то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке N.

Если общий угол при основании равен  , то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты.

  •  
  •  
  •  

Трилинейные координаты произвольной точки N, лежащей на гиперболе Киперта

 

Уравнение гиперболы Киперта в трилинейных координатах

Геометрическое место точек N при изменении угла при основании треугольников   между -π/2 и π/2 является гиперболой Киперта с уравнением

 

где   — трилинейные координаты точки N в треугольнике.

Известные точки, лежащие на гиперболе Киперта

Среди точек, лежащих на гиперболе Киперта, имеются такие важные точки треугольника[2]:

Значение   Точка  
0 G, центроид треугольника ABC (X2)
π /2 (или, — π /2) O, ортоцентр треугольника ABC (X4)
 [3] Центр Шпикера (X10)
π /4 Внешняя точка Вектена (Vecten points) (X485)
— π /4 Внутренняя точка Вектена (Vecten points) (X486)
π /6 N1, первая точка Наполеона (X17)
- π /6 N2, вторая точка Наполеона (X18)
π /3 F1, первая точка Ферма (X13)
- π /3 F2, вторая точка Ферма (X14)
- A (если A < π /2)
π — A (если A > π /2)
Вершина A
- B (если B < π /2)
π — B (если B > π /2)
Вершина B
- C (если C < π /2)
π — C (если C > π /2)
Вершина C

Перечень точек, лежащих на гиперболе Киперта

Гипербола Киперта проходит через следующие центры треугольника X(i)[3]:

Обобщение теоремы Лестера в виде теоремы Б. Гиберта (2000)

Теорема Б. Гиберта (2000) обобщает теорему об окружности Лестера, а именно: любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма[4][5].

История

Название данная гипербола получила в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846—1934)[1].

Свойства

  • Гипербола Киперта — равносторонняя (то есть ее диагонали перпендикулярны), следовательно, ее центр, обозначенный в энциклопедии центров треугольника как Х(115), лежит на окружности Эйлера.

См. также

Примечания

  1. 1 2 3 4 Eddy, Fritsch, 1994, p. 188—205.
  2. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 125—126.
  3. 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. B. Gibert (2000): [ Message 1270]. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.
  5. Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations. Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. MR: 2868943

Литература

  • Eddy R. H., Fritsch R.  The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Math Magazine, 1994, 67. — P. 188—205.