Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или .

Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́ческим отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на стандартных отклонений, составляет менее . В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Пусть   — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

 

где символ   обозначает математическое ожидание[1][2].

Замечания

  • Если случайная величина   дискретная, то
     
     

где   —  -ое значение случайной величины,   — вероятность того, что случайная величина принимает значение  ,   — количество значений случайной величины.

  • Если случайная величина   непрерывна, то:
     
     

где   — плотность вероятности случайной величины.

  • В силу линейности математического ожидания, справедлива формула:
     
  • Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
  • Дисперсия может быть бесконечной.
  • Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов  :
     
  • Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
  • Удобная формула для вычисления смещённой оценки дисперсии (англ. biased sample variance) случайной величины   по последовательности   — реализаций этой случайной величины:
     
    где   — несмещённая оценка  
    Для получения несмещённой оценки дисперсии (англ. unbiased sample variance) правую часть вышеуказанного равенства необходимо умножить на  . Несмещённая оценка обозначается  :
     

Свойства

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:  
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю:   Верно и обратное: если   то   почти всюду;
  • Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
     , где   — их ковариация;
  • Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
     , где  ;
  • В частности,   для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
  •  
  •  
  •  
  • Если   - случайная величина от пары элементарных событий (случайная величина на декартовом произведении вероятностных пространств), то
     

Условная дисперсия

Наряду с условным математическим ожиданием   в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин  .

Условной дисперсией случайной величины   относительно случайной величины   называется случайная величина

 

Её свойства:

  • Условная дисперсия относительно случайной величины   является Y-измеримой случайной величиной (то есть измерима относительно сигма-алгебры, порождённой случайной величиной  );
  • Условная дисперсия неотрицательна:  ;
  • Условная дисперсия   равна нулю тогда и только тогда, когда   почти наверное, то есть тогда и только тогда, когда   совпадает почти наверное с некоторой Y-измеримой величиной (а именно, с  );
  • Обычная дисперсия также может быть представлена как условная:  ;
  • Если величины   и   независимы, случайная величина   является константой, равной  .
  • Если   - две числовые случайные величины, то
     
откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания   всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины  .

Пример

Пусть случайная величина   имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на   то есть её плотность вероятности задана равенством

 

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

 

и математическое ожидание случайной величины

 

Тогда дисперсия случайной величины

 

См. также

Примечания

  1. Колмогоров А. Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.
  2. Боровков А. А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — С. 93-94. — 656 с.

Литература