Точки Аполлония

(перенаправлено с «Изодинамические точки»)
Точки Аполлония выделены зелёным

Точки Аполлония (иногда изодинамические центры[1]) — две такие точки, расстояние от которых до вершин треугольника обратно пропорциональны сторонам, которые противолежат этим вершинам.

Свойства

 
Окружность и точка Парри. (G — центроид, а J и K являются точками Аполлония треугольника ABC)
  • Пусть ABC — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника ABC, называется окружностью Парри треугольника ABC (на рисунке справа она красная). Она также проходит через точку Парри (красная точка в черном кольце).
  • Рассмотрим три сферы, касающиеся плоскости в точках   и друг друга внешним образом. Если радиусы этих сфер равны  , то   и т. д. Поэтому две сферы касающиеся трёх данных и плоскости, будут касаться плоскости в точках Аполлония.
  • Кубика Нейберга — множество таких точек  , что   — прямой Эйлера (зафиксирована её бесконечно удалённая точка). На этой кубике лежит более 15 замечательных точек, в частности, точки Торричелли, Аполлония, ортоцентр, центр описанной окружности, вершины правильных треугольников, построенных на сторонах (внешним или внутренним образом), точки, симметричные вершинам относительно сторон, две точки Ферма, две изодинамические точки, бесконечную точку Эйлера(Euler infinity point), а также лежащие на всех кубиках центры вписанной и вневписанных окружностей. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) кубика Нейберга значится как K001[2].

См. также

Примечания

  1. Katarzyna Wilczek. The harmonic center of a trilateral and the Apollonius point of a triangle (англ.) // Journal of Mathematics and Applications : journal. — 2010. — Vol. 32. — P. 95—101.
  2. K001 at Berhard Gibert’s Cubics in the Triangle Plane// [1]

Ссылки