Интеграл Лебега

Сверху интегрирование по Риману, снизу по Лебегу

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах (интеграл Фреше).

Идея построения интеграла Лебега[1] состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение

Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой  , и на нём определена борелевская функция  .

Определение 1. Пусть   — индикатор некоторого измеримого множества, то есть  , где  . Тогда интеграл Лебега функции   по определению:

 

Определение 2. Пусть   — простая функция, то есть  , где  , а   — конечное разбиение   на измеримые множества. Тогда

 .

Определение 3. Пусть теперь   — неотрицательная функция, то есть  . Рассмотрим все простые функции  , такие что  . Обозначим это семейство  . Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от   задаётся формулой:

 

Наконец, если функция   произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

 

где

 .

Определение 4. Пусть   — произвольная измеримая функция. Тогда её интеграл задаётся формулой:

 .

Определение 5. Пусть наконец   произвольное измеримое множество. Тогда по определению

 ,

где   — индикатор-функция множества  .

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле  , заданную на  , где   — борелевская σ-алгебра на  , а   — мера Лебега. Эта функция принимает значение   в рациональных точках и   в иррациональных. Легко увидеть, что   не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

 

Действительно, мера отрезка   равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна  .

Замечания

  • Так как  , измеримая функция   интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция   интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
  • В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
  • Если функция определена на вероятностном пространстве   и измерима, то она называется случайной величиной, а её интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Свойства

  • Интеграл Лебега линеен, то есть
     ,
где   — произвольные константы;
  • Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если   почти всюду,   измерима и   интегрируема, то интегрируема и  , и более того
     ;
  • Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если   почти всюду, то
     .


Интегральные суммы Лебега

Интегральными суммами Лебега для функции   и меры   называются суммы вида

 ,

где   — разбиение области значений функции  .

Каждая такая сумма является интегралом Лебега от простой функции, аппроксимирующей функцию   - в каждой точке она принимает одно из значений   (а именно,   на подмножестве  ). Поэтому, если функция   интегрируема по Лебегу, эти суммы сходятся к её интегралу, когда  ,  , и диаметр разбиения   стремится к нулю.

Особенность интегральных сумм Лебега состоит в том, что для их вычисления не требуется вычислять значения интегрируемой функции — нужна на самом деле лишь функция распределения её значений:

 

Тогда интегральные суммы Лебега для функции   и меры   становятся интегральными суммами Римана-Стилтьеса для функции   и функции распределения  :

 .

Если функция распределения   имеет плотность:  , то интегральные суммы Лебега преобразуются в интегральные суммы Римана:

 .

Поскольку функции распределения естественным образом возникают в теории вероятностей, статистической и квантовой физике, то и интегральные суммы Лебега фактически используются для вычисления интеграла Лебега, в основном, в приложениях этих теорий. Чаще же всего интеграл Лебега вычисляется как равный ему интеграл Римана (в тех случаях, когда последний имеет смысл).

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций

Примечания

  1. Lebesgue, Henri (1904). «Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives». Paris: Gauthier-Villars.

Литература

  • Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. — 2-е. — М.: ГУПИМПР, 1961. — 173 с.