Комплексная плоскость

Ко́мпле́ксная[1] плоскость — это геометрическое представление множества комплексных чисел .

Точка двумерной вещественной плоскости , имеющая координаты , изображает комплексное число , где

 — вещественная часть комплексного числа,
 — его мнимая часть.

Или же можно сказать, что комплексному числу соответствует радиус-вектор с координатами Алгебраические операции над комплексными числами переносятся на операции над соответствующими им точками или векторами. Различные соотношения между комплексными числами получают наглядное изображение на комплексной плоскости:

  • сложению комплексных чисел соответствует сложение радиус-векторов;
  • умножению на комплексное число соответствует поворот и растяжение радиус-вектора;
  • корни n-й степени из числа располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат.

Комплекснозначные функции комплексного переменного интерпретируются как отображения комплексной плоскости в себя.

Результатом компактификации комплексной плоскости является расширенная комплексная плоскость, называемая также сферой Римана — комплексная плоскость, дополненная бесконечно удалённой точкой, изоморфная обычной сфере (изоморфизм можно установить, например, при помощи стереографической проекции). Комплекснозначные функции в некоторых случаях могут быть продолжены на сферу Римана. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.[уточнить]

Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Множества на комплексной плоскости

Открытые множества

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью   точки   называется множество вида  . Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности  .

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую его окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на   полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка   будет предельной для множества  , если для произвольной окрестности   пересечение   будет непусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается  .

Множество   будет называться замкнутым, если для него справедливо включение  . Ясно видно, что для произвольного множества   множество   будет замкнуто; оно называется замыканием множества  .

Граница

Точка   будет называться граничной для множества  , если для произвольной окрестности   пересечения   и   будут непусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством   или просто границей.

Всюду плотные множества

Множество   будет называться всюду плотным в ином множестве  , если для произвольной точки   и любой окрестности   пересечение   непусто.

Связность

Расстояние между множествами

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой   и некоторым множеством   как величину  .

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в  :  .

Связность

Множество   называется связным, если для него выполнено соотношение  . Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество   можно представить в виде объединения (конечного или счетного)  , где   — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества  . Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звездные и линейно связные множества

Множество   называется звездным относительно точки  , если для произвольной точки   выполняется включение  .

Множество   называется выпуклым, если оно звездно относительно любой своей точки. Множество   называется выпуклой оболочкой множества  , если оно выпукло,   и для любого выпуклого множества  , содержащего множество   выполняется включение  .

Ломаной   называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество   называется линейно связным, если для двух произвольных точек   существует ломаная   такая, что выполняется  .

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звездные множества.

Кривые на

Кривые и пути

Кривой или путём на комплексной плоскости   называется отображение вида  . Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции  , но и её направление. Для примера, функции   и   будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых

Кривые   и   называются гомотопными, если существует кривая  , зависящая от параметра   таким образом, что   и  .

Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точка

В комплексном анализе часто полезно рассматривать расширенную комплексную плоскость[2], дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой  :

 

Геометрически точка   изображается точкой сферы Римана (её «северный полюс»).

При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место[2]:

  •  
  •  

 -окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек  , модуль которых больше, чем  , то есть внешняя часть  -окрестностей начала координат.

См. также

Примечания

  1. Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
  2. 1 2 Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 20—21.

Литература