Коника девяти точек

Коника девяти точек

Коника девяти точек полного четырёхугольника — это коническое сечение, проходящее через три диагональные точки и шесть середин сторон полного четырёхугольника.

Коническое сечение девяти точек описал Максим Бохер в 1892 году. Более известная окружность девяти точек является частным случаем коники Бохера. Другой частный случай — гипербола девяти точек[en].

Определение

Бохер использовал четыре точки полного четырёхугольника как три вершины треугольника и одну независимую точку:

Пусть задан треугольник ABC и точка P на плоскости. Коническое сечение можно провести через следующие девять точек:
середины сторон треугольника ABC,
середины отрезков, соединяющих P с вершинами треугольника,
точки, где эти прямые, проходящие через P и вершины треугольника, пересекают стороны треугольника.

Свойства

Коническое сечение будет эллипсом, если P лежит внутри треугольника ABC или в одной из областей плоскости, отделённых от внутренности треугольника двумя сторонами. В противном случае коника будет гиперболой. Бохер заметил, что в случае, когда P является ортоцентром, получим окружность девяти точек, а когда P является центром описанной окружности треугольника ABC, коника будет равнобочной гиперболой.

В 1912 году Мод Минторн показал, что коника девяти точек является геометрическим местом центров конических сечений, проходящих через четыре заданные точки.

См. также

Литература

Литература для дальнейшего чтения

  • W. G. Fraser. On relations of certain conics to a triangle // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. — 1906. — Т. 25. — С. 38–41.
  • Thomas F. Hogate. On the Cone of Second Order which is Analogous to the Nine-point Conic // Annals of Mathematics. — 1894. — Т. 7. — С. 73–6.
  • P. Pinkerton. On a nine-point conic, etc. // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. — 1905. — Т. 24. — С. 31–3.

Ссылки