Линейная функция

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

(для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

  • Частный случай линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от  — неоднородных линейных функций.

Содержание

Свойства

  •   (угловой коэффициент прямой) является тангенсом угла   который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс.
  • При  , прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
  • При  , прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
  • При  , прямая параллельна оси абсцисс.

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями   и   определяется равенством:   где   то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при   и прямые параллельны.

  •   является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
  • При  , прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция   переменных   — функция вида

 

где   — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё  -мерное пространство переменных   вещественных или комплексных. При   линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные   и коэффициенты   — вещественные числа, то графиком линейной функции в  -мерном пространстве переменных   является  -мерная гиперплоскость

 

в частности при   — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства   над некоторым полем   в это поле, то есть для такого отображения  , что для любых элементов   и любых   справедливо равенство

 

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция   называется линейной, если существуют такие  , где  , что для любых   имеет место равенство:

 .

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция  .

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям  , где  , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае   и  . Например, нелинейной зависимостью считают   для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Ссылки

  • Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.