Математическое ожидание

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины при стремлении количества выборок или количества её измерений (иногда говорят — количества испытаний) к бесконечности.

Среднее арифметическое одномерной случайной величины конечного числа испытаний обычно называют оценкой математического ожидания. При стремлении числа испытаний стационарного случайного процесса к бесконечности оценка математического ожидания стремится к математическому ожиданию.

Математическое ожидание — одно из основных понятий в теории вероятностей[1].

  • В англоязычной литературе обозначается через [2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert),
  • в русской — (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»).
  • В статистике часто используют обозначение .

Определение

Пусть задано вероятностное пространство   и определённая на нём случайная величина  . То есть, по определению,   — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от   по пространству  , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается   или  .

 

Основные формулы для математического ожидания

 .

Математическое ожидание дискретного распределения

 ,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

 .

Математическое ожидание целочисленной величины

  • Если   — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей
 

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности  

 

как значение первой производной в единице:  . Если математическое ожидание   бесконечно, то   и мы будем писать  

Теперь возьмём производящую функцию   последовательности «хвостов» распределения  

 

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией   свойством:   при  . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

 

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

 .

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть   — случайный вектор. Тогда по определению

 ,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть   — борелевская функция, такая что случайная величина   имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула

 

если   имеет дискретное распределение;

 

если   имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение   случайной величины   общего вида, то

 

В специальном случае, когда  , математическое ожидание   называется  -м моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

  • Математическое ожидание числа есть само число.
 
  — константа;
  • Математическое ожидание линейно, то есть
 ,
где   — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а   — произвольные константы;
  • Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если   почти наверняка, и   — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины   также конечно, и более того
 ;
  • Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если   почти наверняка, то
 .
  • Математическое ожидание произведения двух независимых или некоррелированных[3] случайных величин   равно произведению их математических ожиданий
 .

Дополнительные свойства математического ожидания

Примеры

 

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

  • Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале  , где  . Тогда её плотность имеет вид   и математическое ожидание равно
 .
 ,

то есть математическое ожидание   не определено.

См. также

Примечания

  1. «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
  2. А. Н. Ширяев. 1 // «Вероятность». — М.: МЦНМО, 2007. — 968 с. — ISBN 978-5-94057-036-3, 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.
  3. Теория вероятностей: 10.2. Теоремы о числовых характеристиках. sernam.ru. Дата обращения 10 января 2018.

Литература

  • Феллер В. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича, С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.

Ссылки