Модель Хестона

В финансовой математике, модель Хестона - это математическая модель, предложенная Стивеном Хестоном, которая описывает совместную динамику цены базового актива и его волатильности.[1] Поведение волатильности предполагается стохастичным: волатильность актива не только не является постоянным параметром модели, но изменяется согласно определенному случайному процессу.

Базовая модель Хестона

Базовая модель Хестона предполагает, что St, цена актива, определяется стохастическим процессом:[2]

 

где  , мгновенная дисперсия, задаётся процессом CIR:

 

а   — винеровские процессы (то есть случайные блуждания) с корреляцией ρ, или, эквивалентно, с ковариацией ρ dt.

Параметры, использованные выше, имеют следующий смысл:

  • μ — частота возвращения актива.
  • θ — длинная дисперсий, или длинное средние дисперсии цены; при стремлении t к бесконечности, ожидаемое значение νt стремится к θ.
  • κ — частота, с которой νt возвращается к θ.
  • ξ — волатильность волатильности; как и предполагает название, она определяет дисперсию νt.

Если параметры подчиняются следующему условию (известному как условие Феллера), тогда процесс   строго положителен[3]

 

Обобщения

Для того, чтобы принять во внимание все свойства профиля волатильности, модель Хестона не является достаточно гибкой. Может быть необходимо добавить к ней дополнительные степени свободы.

Первое прямое обобщение это позволить параметрам зависеть от времени. Тогда динамика модели имеет вид:

 

Здесь  , мгновенная дисперсия, задаётся зависящим от времени процессом CIR:

 

а   — винеровские процессы (то есть случайные блуждания) с корреляцией ρ. Для того, чтобы сохранить трактовку модели необходимо потребовать, чтобы параметры были кусочно-постоянными.

Другой подход состоит в добавлении второго процесса с независимой от первого дисперсией.

 
 
 

Существенное обобщение модели Хестона, делающее стохастически не только волатильность, но и среднее было предложено Лин Ченом (1996). В модели Чена динамика мгновенной процентной ставки устанавливается формулами:

 
 
 


Реализация

Тонкости реализации модели Хестона с правильным учетом числа оборотов вокруг начала координат в комплексной плоскости для функции комплексного логарифма, составляющего часть решения для цены опциона, было впервые приведено в статье Кристиана Кала и Петера Якеля.[4]

Информация о том, как использовать преобразование Фурье для оценки опционов приведено в статье Питера Карра и Дилипа Мадана.[5]

Обобщение модели Хестона со случайными процентными ставками приведено в статье Гржелака и Остерли.[6]

Вывод замкнутого решения для цен опционов для зависящей от времени модели Хестона приведён в статье Гобе и др.[7]

Вывод замкнутого решения для цен опционов для двойной модели Хестона приведён в статьях Кристоферсена[8] и Готье. [9]

См. также

  • Стохастическая волатильность
  • Нейтральная к риску мера (другое название: эквивалентная мартингальная мера)
  • Теорема Гирсанова
  • Мартингал
  • Модель волатильности SABR

Примечания

  1. «A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options», by Steven L. Heston, The Review of Financial Studies 1993 Volume 6, number 2, pp. 327—343 [1]
  2. Wilmott, P. (2006), Paul Wilmott on quantitative finance (2nd ed.), с. 861 
  3. Albrecher, H.; Mayer, P.; Schoutens, W. & Tistaert, J. (2007), Wilmott Magazine: 83–92 
  4. Kahl, C. & Jäckel, P. (2005), "Not-so-complex logarithms in the Heston model", Wilmott Magazine: 74–103, <http://www.math.uni-wuppertal.de/~kahl/publications/NotSoComplexLogarithmsInTheHestonModel.pdf> 
  5. Carr, P. & Madan, D. (1999), "Option valuation using the fast Fourier transform", Journal of Computational Finance Т. 2 (4): 61–73, <http://www.math.nyu.edu/research/carrp/papers/pdf/jcfpub.pdf> 
  6. Grzelak, L.A. & Oosterlee, C.W. (2011), "On the Heston Model with Stochastic Interest Rates", SIAM J. Fin. Math. Т. 2: 255–286, <http://scitation.aip.org/getpdf/servlet/GetPDFServlet?filetype=pdf&id=SJFMBJ000002000001000255000001&idtype=cvips&doi=10.1137/090756119&prog=normal> 
  7. Benhamou, E.; Gobet, E. & Miri, M. (2009), SSRN Working Paper, <http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1367955> 
  8. Christoffersen, P.; Heston, S. & Jacobs, K. (2009), CREATES Research Paper, <http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1447362> 
  9. Gauthier, P. & Possamai, D. (2009), SSRN Working Paper, <http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1434853>