Наибольший общий делитель

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел и называется наибольший из их общих делителей.[1] Пример: для чисел 54 и 24 наибольший общий делитель равен 6.

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел или не равно нулю.

Возможные обозначения наибольшего общего делителя чисел и :

  • НОД(m, n);
  • ;
  • (от англ. greatest common divisor);
  • (от брит. highest common factor).

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел.

Связанные определения

Наименьшее общее кратное

Основная статья: Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел   и   — это наименьшее натуральное число, которое делится на   и   (без остатка). Обозначается НОК(m,n) или  , а в английской литературе  .

НОК для ненулевых чисел   и   всегда существует и связан с НОД следующим соотношением:

 

Это частный случай более общей теоремы: если   — ненулевые числа,   — какое-либо их общее кратное, то имеет место формула:

 

Взаимно простые числа

Основная статья: Взаимно простые числа

Числа   и   называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме единицы. Для таких чисел НОД(m,n) = 1. Обратно, если НОД(m,n) = 1, то числа взаимно просты.

Аналогично, целые числа  , где  , называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Следует различать понятия взаимной простоты, когда НОД набора чисел равен 1, и попарной взаимной простоты, когда НОД равен 1 для каждой пары чисел из набора. Из попарной простоты вытекает взаимная простота, но не наоборот. Например, НОД(6,10,15) = 1, но любые пары из этого набора не взаимно просты.

Способы вычисления

Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм.

Кроме того, значение НОД(m,n) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел   и   на простые множители:

 
 

где   — различные простые числа, а   и   — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД(n,m) и НОК[n,m] выражаются формулами:

 
 

Если чисел более двух:  , их НОД находится по следующему алгоритму:

 
 
………
  — это и есть искомый НОД.

Свойства

  • Основное свойство: наибольший общий делитель   и   делится на любой общий делитель этих чисел. Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
    • Следствие 1: множество общих делителей   и   совпадает с множеством делителей НОД(m, n).
    • Следствие 2: множество общих кратных   и   совпадает с множеством кратных НОК(m, n).
  • Если   делится на  , то НОД(m, n) = n. В частности, НОД(n, n) = n.
  •   — общий множитель можно выносить за знак НОД.
  • Если  , то после деления на   числа становятся взаимно простыми, то есть,  . Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
  • Мультипликативность: если   взаимно просты, то:
 
  • Наибольший общий делитель чисел   и   может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:
 
и поэтому   представим в виде линейной комбинации чисел   и  :
 .
Это соотношение называется соотношением Безу, а коэффициенты   и   — коэффициентами Безу. Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы  , порождённая набором  , — циклическая и порождается одним элементом: НОД(a1, a2, … , an).

Вариации и обобщения

Понятие делимости целых чисел естественно обобщается на произвольные коммутативные кольца, такие, как кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Однако, определить НОД(a, b) как наибольший из общих делителей  ,   нельзя, так как в таких кольцах, вообще говоря, не определено отношение порядка. Поэтому в качестве определения НОД берётся его основное свойство:

Наибольшим общим делителем НОД(a, b) называется тот общий делитель, который делится на все остальные общие делители   и  .

Для натуральных чисел новое определение эквивалентно старому. Для целых чисел НОД в новом смысле уже не однозначен: противоположное ему число тоже будет НОД. Для гауссовых чисел число различных НОД возрастает до 4.

НОД двух элементов коммутативного кольца, вообще говоря, не обязан существовать. Например, для нижеследующих элементов   и   кольца   не существует наибольшего общего делителя:

 

В евклидовых кольцах наибольший общий делитель всегда существует и определён с точностью до делителей единицы, то есть количество НОД равно числу делителей единицы в кольце.

См. также

Литература

Примечания