Нормальные координаты

Нормальные координатылокальная система координат в окрестности точки риманова многообразия (или, более общо, многообразия с аффинной связностью) полученная из координат на касательном пространстве в данной точке применением экспоненциального отображения.

В базовой точке нормальной системы координат символы Кристоффеля обнуляются; это часто упрощает вычисления.

Построение

Пусть   есть гладкое многообразие с аффинной связностью и   есть соответствующее экспоненциальное отображение. Тогда нормальные координаты точки   считаются равными координатам вектора   в касательном пространстве  .

Выбор последних координат произволен, в частности для риманова многообразия можно предположить, что координаты прямоугольные.

Замечания

Свойства

  • Лемма Гаусса утверждает, что малые координатные сферы с центром в начале координат являются метрическими сферами и они остаются перпендикулярными геодезическим исходящим из базовой точки.

Вариации и обобщения

  • Нормальные координаты на финслеровых многообразий не гладки в нуле, поскольку экспоненциальное отображение на финслеровых многообразия не является дважды дифференцируемым в нуле.[1]

Примечания

  1. Busemann, Herbert (1955), "On normal coordinates in Finsler spaces", Mathematische Annalen Т. 129: 417–423, ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/BF01362381 .