Окружность Ламуна

Окружность Ламуна, проходящая через центры шести описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами: , , , , ,

В планиметрии окружность Ламуна — это специальная окружность, которую можно построить в любом треугольнике . Она содержит центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разрезают три его медианы.[1][2] Пусть для определенности , ,  — 3 вершины треугольника , и пусть  — его центроид (пересечение трёх медиан). Пусть , и  — середины сторон , и соответственно. Тогда центры шести описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами: , , , , и , лежат на общей окружности, которая называется окружностью Ламуна (англ. the van Lamoen circle).[2]

История

Окружность Ламуна так названа в честь математика Ламуна (Floor van Lamoen), который сформулировал это как задачу (проблему) в 2000 г.[3]. Доказательство было предоставлено Кин Я. Ли (Kin Y. Li) в 2001 г. [4],[5]

Свойства

Центром окружности Ламуна является точка   в Энциклопедии центров треугольника К. Кимберлинга. В 2003 году Алексей Мякишев и Петер Й. Ву (Peter Y. Woo) доказали, что обратное утверждение теоремы почти всегда справедливо в следующем смысле: пусть   — любая точка внутри треугольника, и  ,   и   — три его чевианы, то есть, отрезки, которые соединяют каждую вершину с  , продолженные до их пересечения с противоположной стороной. Тогда описанные окружности шести треугольников  ,  ,  ,  ,   и   лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда   является центроидом треугольника   или его ортоцентром (точкой пересечения трёх его высот). [6] Более простое доказательство этого результата было дано Нгуен Минь Ха (Nguyen Minh Ha) в 2005 году.[7]

См. также

Примечание

  1. Clark Kimberling (), X(1153) = Center of the van Lemoen circle, in the Encyclopedia of Triangle Centers Accessed on 2014-10-10.
  2. 1 2 Eric W. Weisstein, van Lamoen circle at Mathworld. Accessed on 2014-10-10.
  3. Kin Y. Li (2001), Concyclic problems. Mathematical Excalibur, volume 6, issue 1, pages 1-2.
  4. Clark Kimberling (), X(1153) = Center of the van Lemoen circle, in the Encyclopedia of Triangle Centers Accessed on 2014-10-10
  5. (2002), Solution to Problem 10830. American Mathematical Monthly, volume 109, pages 396—397
  6. Alexey Myakishev and Peter Y. Woo (2003), On the Circumcenters of Cevasix Configuration. Forum Geometricorum, volume 3, pages 57-63.
  7. N. M. Ha (2005), Another Proof of van Lamoen’s Theorem and Its Converse. Forum Geometricorum, volume 5, pages 127—132.