Теорема Лестера

(перенаправлено с «Окружность Лестера»)
Точки Ферма , центр окружности девяти точек (светло-голубой), и центр описанной окружности зелёного треугольника лежат на окружности Лестера (чёрная).

Теорема Лестера — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому в любом разностороннем треугольнике две точки Ферма, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера). Названа именем канадского математика Джун Лестер (June Lester).

Доказательства

Доказательство Гильберта с помощью гиперболы Киперта

Теорема об окружности Лестера вытекает из более общего утверждения Б. Гиберта (2000), а именно, что любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма[1][2].

Лемма Дао на прямоугольной гиперболе

 
Теорема Дао о прямоугольной гиперболе

В 2014 году Дао Танх Оай (Đào Thanh Oai) показал, что результат Гиберта следует из свойств прямоугольных гипербол. А именно, пусть точки   и   лежат на одной ветви прямоугольной гиперболы  , а   и   — две точки на  , симметричные относительно её центра (точки-антиподы), в которых касательные прямые к   параллельны прямой  .

Пусть   и   — две точки на гиперболе, касательные прямые в которых пересекаются в точке   на прямой  . Если прямая   пересекает   в точке  , и перпендикуляр в середине отрезка   пересекает гиперболу в точках   и  , то шесть точек   лежат на одной окружности[3].

Чтобы получить теорему Лестера из этого результата, необходимо взять в качестве   гиперболу Киперта треугольника, в качестве точек   — точки Ферма, точками   будут внутренняя и внешняя точки Вектена, точками   будут ортоцентр и центроид треугольника[3].

См. также

Примечания

  1. B. Gibert (2000): [ Message 1270]. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.
  2. Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations. Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. MR: 2868943
  3. 1 2 Đào Thanh Oai (2014), A Simple Proof of Gibert’s Generalization of the Lester Circle Theorem Forum Geometricorum, volume 14, pages 201—202. MR: 3208157

Литература

  • Clark Kimberling. Lester Circle // Mathematics Teacher. — 1996. — Т. 89, вып. 26.
  • June A. Lester. Triangles III: Complex triangle functions // Aequationes Mathematicae. — 1997. — Т. 53. — С. 4–35.
  • Michael Trott. Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry // Mathematica in Education and Research. — 1997. — Т. 6. — С. 15–28.
  • Ron Shail. A proof of Lester's Theorem // Mathematical Gazette. — 2001. — Т. 85. — С. 225–232.
  • John Rigby. A simple proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — 2003. — Т. 87. — С. 444–452.
  • J.A. Scott. On the Lester circle and the Archimedean triangle // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 498–500.
  • Michael Duff. A short projective proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 505–506.
  • Stan Dolan. Man versus Computer // Mathematical Gazette. — Т. 91. — С. 469–480.

Ссылки