Описанное и вписанное конические сечения

Вписанная и описанная параболы. Красным показана четвёртая точка пересечения (точка F)

Описанное коническое сечение или описанная коника для треугольника — это коническое сечение, проходящее через три вершины треугольника[1], а вписанное коническое сечение или вписанная коника — это вписанное[en] в треугольник коническое сечение, т.е. касающееся сторон треугольника (возможно, не самих сторон, а их продолжений[en]) [2]

Пусть даны три различные точки A,B,C, не лежащие на одной прямой, и пусть ΔABC — треугольник, имеющий эти точки в качестве вершин. Обычно считается, что буква, например A, обозначает не только вершину A, но и прилежащий к ней угол BAC. Пусть a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| являются длинами сторон треугольника ΔABC.

В трилинейных координатах описанное коническое сечение — это геометрическое место точек X = x : y : z, удовлетворяющих уравнению

uyz + vzx + wxy = 0,

для некоторой точки u : v : w. Изогональное сопряжение любой точки из X на сечении, отличной от A,B,C, является точкой на прямой

ux + vy + wz = 0.

Эта прямая имеет с описанной вокруг треугольника ΔABC окружностью 0,1 или 2 общие точки в зависимости от того, является коническое сечение эллипсом, параболой или гиперболой.

Вписанное коническое сечение касается трёх прямых, проходящих через вершины треугольника ΔABC (продолжения сторон) и задаётся уравнением

u2x2 + v2y2 + w2z2 − 2vwyz − 2wuzx − 2uvxy = 0.

Центры и касательные прямые

Описанная коника

Центр описанного конического сечения — это точка

u(−au + bv + cw) : v(aubv + cw) : w(au + bvcw).

Прямые, касательные коническому сечению в точках A,B и C, задаются уравнениями

wv + vz = 0,
uz + wx = 0,
vx + uy = 0.

Вписанная коника

Центр вписанного конического сечения — это точка

cy + bz : az + cx : bx + ay.

Касательные к этой конике — это стороны треугольника ΔABC, и они задаются уравнениями x = 0, y = 0, z = 0.

Другие свойства

Описанные конические сечения

  • Любое описанное коническое сечение, не являющееся окружностью, пересекает описанную вокруг ΔABC окружность в точке, отличной от A, B и C, которую часто называют четвёртой точкой пересечения, и она имеет трилинейные координаты
(cxaz)(aybx) : (aybx)(bzcy) : (bzcy)(cxaz)
  • Если точка P = p : q : r лежит на описанном коническом сечении, то прямая, касательная сечению в точке P, задаётся уравнением
(vr + wq)x + (wp + ur)y + (uq + vp)z = 0.
  • Описанное коническое сечение является параболой тогда и только тогда, когда
u2a2 + v2b2 + w2c2 − 2vwbc − 2wuca − 2uvab = 0,
и гиперболой тогда и только тогда, когда
u cos A + v cos B + w cos C = 0.
  • Из всех треугольников, вписанных в заданный эллипс, центроид треугольника с наибольшей площадью совпадает с центром эллипса[3]. Эллипс, проходящий через три вершины треугольника, с центром, совпадающим с центроидом треугольника, называется описанным эллипсом Штейнера.

Вписанные конические сечения

  • Вписанное коническое сечение является параболой тогда и только тогда, когда
ubc + vca + wab = 0,
и в этом случае коническое сечение касается одной стороны треугольника извне и касается продолжения двух других сторон.
  • Предположим, что p1 : q1 : r1 и p2 : q2 : r2 различные точки, и пусть
X = (p1 + p2t) : (q1 + q2t) : (r1 + r2t).
Когда параметр t пробегает все вещественные числа, геометрическое место точек X является прямой. Определим
X2 = (p1 + p2t)2 : (q1 + q2t)2 : (r1 + r2t)2.
Геометрическое место точек X2 является вписанным коническим сечением, обязательно эллипсом, которое задаётся уравнением
L4x2 + M4y2 + N4z2 − 2M2N2yz − 2N2L2zx − 2L2M2xy = 0,
где
L = q1r2r1q2,
M = r1p2p1r2,
N = p1q2q1p2.
  • Точка внутри треугольника является центром вписанного в треугольник эллипса тогда и только тогда, когда точка лежит внутри треугольника, вершинами которого служат середины исходного треугольника[4]. Для точки внутри серединного треугольника эллипс с центром в этой точке единственен[5].
  • Вписанный эллипс с наибольшей площадью является вписанным эллипсом Штейнера, который называется также серединным вписанным эллипсом. Центр этого эллипса совпадает с центроидом треугольника[6]. В общем случае отношение площади вписанного эллипса к площади треугольника в терминах барицентрических координат   центра эллипса равно[7].
 
и это отношение максимизируется при совпадении с барицентрическими координатами центроида треугольника  
  • Прямые, соединяющие точки касания любого вписанного в треугольник эллипса с противолежащей вершиной, пересекаются в одной точке[8].

Расширение на четырёхугольники

Все центры вписанных в четырёхугольник эллипсов лежат на отрезке, соединяющем середины диагоналей четырёхугольника[9].

Примеры

Примечания

  1. Weisstein, Eric W. "Circumconic." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html
  2. Weisstein, Eric W. "Inconic." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.htm (недоступная ссылка)
  3. Chakerian, 1979, с. 147.
  4. Chakerian, 1979, с. 139.
  5. Chakerian, 1979, с. 142.
  6. Chakerian, 1979, с. 145.
  7. Chakerian, 1979, с. 143.
  8. Chakerian, 1979, с. 148.
  9. Chakerian, 1979, с. 136.

Литература

G. D. Chakerian. A Distorted View of Geometry // Mathematical Association of America / R. Honsberger. — Washington, DC, 1979.

Ссылки