Параболическая система координат

(перенаправлено с «Параболические координаты»)

Параболические координаты — ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.

Параболические координаты нашли многочисленные применения в математической физике, в частности, в теории эффекта Штарка и задаче о потенциале вблизи угла.

Двумерные параболические координаты

Двумерные параболические координаты   определяются выражениями

 

Поверхности постоянной   являются конфокальными параболами

 

расширяющимися вверх (вдоль луча  ), а поверхности постоянной   — это конфокальные параболы

 

расширяющиеся вниз (вдоль луча  ). Фокусы всех парабол расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики двумерных координат

Коэффициенты Ламэ для параболических координат равны

 

Таким образом, элемент площади равен

 

а лапласиан равен

 

Прочие дифференциальные операторы могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Трёхмерные параболические координаты

 
Координатные поверхности для трёхмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует  , синий параболоид соответствует  , а жёлтая полуплоскость соответствует  . Три поверхности пересекаются в точке   (отмеченной чёрной сферой), имеющей декартовы координаты приблизительно  .

На основе двумерных параболических координат строятся два типа трёхмерных координат. Первые получаются простым проектированием на плоскость   вдоль оси   и называются цилиндрические параболические координаты.

Вторая система координат, также называемая «параболические координаты», строится на основе параболоидов вращения, получаемых вращением парабол вокруг их оси симметрии

 

Ось параболоидов совпадает с осью  , так как вокруг неё производится вращение. Азимутальный угол   определяется как

 

Поверхности постоянной   являются конфокальными параболоидами

 

направленными вверх (вдоль луча  ), а поверхности постоянной   — это конфокальные параболоиды

 

направленные вниз (вдоль луча  ). Фокусы всех параболоидов расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики трёхмерных координат

Коэффициенты Ламэ в трёхмерном случае:

 
 
 

Как видно, коэффициенты   и   совпадают с двумерным случаем. Элемент объёма равен

 

а лапласиан равен

 

Прочие дифференциальные операторы, такие как дивергенция или ротор могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Символы Кристоффеля второго рода:

 
 
 

Остальные символы равны нулю.



Обратные преобразования

Переход от декартовых координат   к параболическим   осуществляется по формулам:

 

при этом  

 

При   получаем ограничение координат на плоскость  :

 
 

Линия уровня  :

 

Это парабола, фокус которой при любом   расположен в начале координат.

Аналогично при   получаем

 

Координатные параболы пересекаются в точке

 

Пара парабол пересекается в двух точках, но при   точка оказывается заключена в полуплоскости  , так как   соответствует  .

Найдём коэффициенты наклоны касательных к параболам в точке  :

 
 
 

Так как произведение коэффициентов равно −1, то параболы перпендикулярны в точке пересечения. Таким образом, параболические координаты оказываются ортогональными.

Пара   определяет координаты в полуплоскости. При изменении   от 0 до   полуплоскость вращается вокруг оси  , в качестве координатных поверхностей получаются параболоиды вращения и полуплоскости. Пара противоположных параболоидов определяет круг, а величина   определяет полуплоскость, пересекающую круг в единственной точке. Её декартовы координаты равны:

 
 

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.