Периодическая функция

(перенаправлено с «Периодичность»)
Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом .

Периодическая фу́нкцияфункция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом , если для каждой точки из её области определения точки и также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство .

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство , где  — любое целое число.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение

Пусть   есть абелева группа (обычно предполагается   — вещественные числа с операцией сложения или   — комплексные числа). Функция   (где   — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом   , если справедливо

 .

Если это равенство не выполнено ни для какого   , то функция   называется апериоди́ческой.

Если для функции   существуют два периода  , отношение которых не равно вещественному числу, то есть  , то   называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения   на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на  .

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если   — период, то и любой элемент   вида   (или  , если в области определения функции определена операция умножения), где   — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов   имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

  • Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом   , так как
 
  • Функции тангенс и котангенс являются периодическими с основным периодом  .
  • Функция   является периодической с основным периодом  .
  • Функция, равная константе  , является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
  • Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
  • Функция   является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций

  • Сумма двух функций с соизмеримыми периодами   и   не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратному   и   (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции   основной период равен  , у функции   период равен  , а у их суммы   основной период, очевидно, равен  .
  • Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.
  • Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции  , принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также

  • Квазипериодическая функция

Ссылки