Показательная функция

Показательная функция — математическая функция , где называется основанием степени, а  — показателем степени.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Содержание

Вещественная функция

Определение показательной функции

Пусть   — неотрицательное вещественное число,   — рациональное число:  . Тогда   определяется по следующим правилам.

  • Если  , то  .
  • Если   и  , то  .
  • Если   и  , то  .
    • Значение   при   не определено.

Для произвольного вещественного показателя   значение   можно определить как предел последовательности  , где   — рациональные числа, сходящиеся к  . Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

 

Свойства

 
График экспоненты
  •  
  •  
  •  
  •  
  •   /   =  

Используя функцию натурального логарифма  , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:

 

Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

 

В частности:

 

Разложение в ряд:

 .

Асимптотика

Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:

 

Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Комплексная функция

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

 

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для   вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

 

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

 

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример:  ; поскольку   (главное значение логарифма), окончательно получаем:  .

См. также

Литература