Полуплоскость

Полуплоскость в математике — множество точек плоскости, лежащих по одну сторону от некоторой прямой на этой плоскости.

Координатные представления

Декартовы координаты

Координаты точек полуплоскости удовлетворяют неравенству:

Ах + By + С > 0, где А, В, С — некоторые постоянные, причём А и В одновременно не равны нулю.

Если сама прямая Ax + By + С = 0 (граница полуплоскости) причисляется к этой полуплоскости, то такую полуплоскость называют замкнутой.

Комплексные координаты

На комплексной плоскости z = х + iy рассматриваются:

  • верхняя полуплоскость у = Im z > 0,
  • нижняя полуплоскость у = Im z < 0,
  • левая полуплоскость х = Re z < 0,
  • правая полуплоскость x = Re z > 0.

Свойства

  • Две точки лежат по одну сторону от прямой тогда и только тогда когда отрезок между ними не пересекается с этой прямой.
  • Полуплоскость комплексной плоскости конформно отображается на круг с помощью дробно-линейной функции. Такое отображение из верхней полуплоскости в единичный круг (и обратно) называют преобразованием Кэли.

См. также