Правило Лопиталя

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Содержание

Точная формулировка

Теорема Лопиталя:

Если:

  1.   или  ;
  2.   и   дифференцируемы в окрестности  ;
  3.   в окрестности  ;
  4. существует  ;

то существует  .

Пределы также могут быть односторонними.

История

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.[2]

Примеры

  •  
  •  
    Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на   в наибольшей степени(в нашем случае  ). В этом примере получается:
     
  •   — применение правила   раз;
  •   при  .

В искусстве

…и рассказывали анекдоты о раскрытии неопределенностей методом Лопиталя

Братья Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу».

Примечания

  1. http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_1.pdf
  2. Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of  , p.216