Признак Паскаля

При́знак Паска́ля — математический метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».

Содержание

Общий вид

Пусть есть натуральное число   записываемое в десятичной системе счисления как  , где   — единицы,   — десятки и т. д.

Пусть   — произвольное натуральное число, на которое мы хотим делить и выводить признак делимости на него.

Находим ряд остатков по следующей схеме:

  — остаток от деления   на  
  — остаток от деления   на  
  — остаток от деления   на  
  — остаток от деления   на  .

Формально:

 
 

Так как остатков конечное число (а именно  ), то этот процесс зациклится (не позже, чем через   шагов) и дальше можно его не продолжать: Начиная с некоторого  , где   — получившийся период последовательности  . Для единообразия можно принять, что  .

Тогда   имеет тот же остаток от деления на  , что и число

 .

Доказательство

Пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю   можно заменять числа их остатками от деления на  , получаем:

           

Основные частные случаи

Признак делимости на 2

Здесь  . Так как  , то  . Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2, или обычно: число делится на 2, если его последняя цифра чётна.

Признаки делимости на 3 и 9

Здесь   или  . Так как   (остаток от деления 10 как на 3, так и на 9 равен 1), то все  . Значит, остаток от деления числа на 3 (или на 9) равен остатку от деления суммы его цифр на 3 (соответственно, 9), или иначе: число делится на 3 (или 9), если сумма его цифр делится на 3 (или 9).

Признак делимости на 4

Здесь  . Находим последовательность остатков:  . Отсюда получаем признак: остаток от деления числа на 4 равен остатку от деления   на 4, или, заметив, что остаток зависит только от 2 последних цифр: число делится на 4, если число, состоящее из 2 его последних цифр, делится на 4.

Признак делимости на 5

Здесь  . Так как  , то  . Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5, или обычно: число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.

Признак делимости на 7

Здесь  . Находим остатки.

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  , цикл замкнулся.

Следовательно, для любого числа

 

его остаток от деления на 7 равен

 .

Пример

Рассмотрим число 48916. По доказанному выше,

 
 ,

а значит, 48916 делится на 7.

Признак делимости на 11

Здесь  . Так как  , то все  , а  . Отсюда можно получить простой признак делимости на 11:

остаток от деления числа на 11 равен остатку от деления его суммы цифр, где каждая нечётная (начиная с единиц) цифра взята со знаком «−», на 11.

Проще говоря:

если разбить все цифры числа на 2 группы — через одну цифру (в одну группу попадут все цифры с нечётными позициями, в другую — с чётными), сложить все цифры в каждой группе и вычесть одну полученную сумму из другой, то остаток от деления на 11 результата будет такой же, что и у первоначального числа.

Литература