Прямая Симсона

Прямая Симсона треугольника ABC

Прямая Симсона — прямая, проходящая через основания перпендикуляров на стороны треугольника из точки на его описанной окружности. Её существование опирается на теорему Симсона.

Прямая Симсона оснований перпендикуляров, лежащих на продолжениях сторон. Индекс обозначает сторону, на которую перпендикуляр опущен.

Теорема Симсона

Основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки   описанной окружности треугольника   на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона[1].

Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из точки   на стороны треугольника   или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка   лежит на описанной окружности треугольника.

Доказательство

Достаточно доказать, что  .

Поскольку   является вписанным в окружность четырехугольником,  .   является вписанным в окружность четырехугольником, поэтому  . Следовательно,  . Теперь   является вписанным в окружность четырехугольником, поэтому  . Таким образом,  

История

Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону (1687—1768), но в действительности она была открыта лишь в 1797 году шотландским математиком Уильямом Уоллесом. Поэтому наряду с традиционным названием этой прямой часто используется исторически более справедливое название прямая Уоллеса.[2]

Свойства

 
Прямые Симсона (красным цветом) являются касательными к дельтоиде Штейнера (синим цветом).
  • Пусть   — ортоцентр треугольника  . Тогда прямая Симсона произвольной точки   делит отрезок   пополам в точке, лежащей на окружности девяти точек.
  • На описанной окружности треугольника   существуют ровно три точки, таких что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника  , причем эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.
  • Прямые Симсона диаметрально противоположных точек описанной окружности перпендикулярны.
    • Если "P" и "Q" являются точками на описанной окружности, то угол между прямыми Симсона точек "P" и "Q" равен половине угла дуги "PQ". В частности, если точки диаметрально противоположны, их прямые Симсона перпендикулярны и в этом случае точка пересечения прямых Симсона лежит на окружности девяти точек.
  • Для двух данных треугольников с одной и той же описанной окружностью, угол между прямыми Симсона точки "P" на окружности для обоих треугольников не зависит от "P".
  • Множество всех возможных линий Симсона, которые могут быть изображены для данного треугольника, имеют огибающую в форме дельтоиды, известную как дельтоида Штейнера (Steiner deltoid) опорного треугольника. Дельтоида Штейнера (Steiner deltoid) представляет собой частную гипоциклоиду, а именно: кривую, которая описывается произвольной фиксированной точкой окружности, которая катится без скольжения внутри окружности в 3 раза большего диаметра.

Замечание

Заметим, что Якоб Штейнер открыл дельтоиду, как частную гипоциклоиду, которая описывается произвольной фиксированной точкой окружности, которая катится без скольжения внутри окружности в 3 раза большего диаметра. А то, что множество всех возможных линий Симсона, которые могут быть изображены для данного треугольника, имеют огибающую в форме дельтоиды, открыто примерно 100 лет назад и совсем не Штейнером [3].

Уравнение прямой Симсона

  • Помещая треугольник на комплексную плоскость, предположим, что треугольник ABC вписан в единичную окружность и имеет вершины, комплексные координаты которых есть a , b , c , и пусть P с комплексной координатой p является точкой на окружности. Тогда прямая Симсона описывается следующим уравнением на z:[4]
     
где черта сверху указывает на комплексное сопряжение.

Вариации и обобщения

  • Ни один выпуклый многоугольник, имеющий не менее 5 сторон, не имеет прямой Симсона.[5]
  • Если из данной точки   описанной окружности треугольника   провести прямые под данным ориентированным углом к сторонам, то три полученных точки пересечения будут лежать на одной прямой.
  • Прямую Симсона можно определить для любого вписанного  -угольника по индукции следующим образом: прямой Симсона точки   относительно данного  -угольника назовем прямую, содержащую проекции точки   на прямые Симсона всех  -угольников, полученных выбрасыванием одной вершины  -угольника.
  • Теорема Сальмона
  • Подерный треугольник — треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника; в случае когда точка лежит на описанной окружности подерный треугольник вырождается и его вершины лежат на прямой Симсона.
  • Пусть ABC — треугольник, и пусть прямая ℓ (зеленая на рисунке) проходит через центр X3 описанной окружности, а точка P лежит на окружности. Пусть AP, BP, CP пересекают прямую ℓ соответственно в точках Ap, Bp, Cp. Пусть A0, B0, C0 представляют собой проекции точек Ap, Bp, Cp соответственно на прямых BC, CA, AB. Тогда A0, B0, C0 коллинеарны. Кроме того, проходящая черезних прямая проходит через середину отрезка PH, где H является ортоцентром треугольника ABC. Если ℓ проходит через P, то прямая совпадёт с прямой Симсона. [6][7][8]

 

Примечания

  1. Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
  2. Gibson History 7 - Robert Simson (30 января 2008).
  3. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). Под ред. А.П. Нордена., М.: Физматлит, 1960. С. 127.
  4. Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", Forum Geometricorum 17 (2017), 373-381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf
  5. Tsukerman, Emmanuel. On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas (англ.) // Forum Geometricorum (англ.) : journal. — 2013. — Vol. 13. — P. 197—208.
  6. A Generalization of Simson Line. Cut-the-knot (April 2015).
  7. Nguyen Van Linh (2016), "Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem", Forum Geometricorum Т. 16: 57–61, <http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf> 
  8. Nguyen Le Phuoc and Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem. The Mathematical Gazette, 100, pp 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. The Mathematical Gazette

Внешние ссылки

Литература

  • Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). Под ред. А.П. Нордена. — М.: Физматлит, 1960. С. 127