Пфаффиан

Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера , и в этом случае его степень равна n.

Примеры

 
 
 

Определение

Пусть   обозначает множество всех разбиений множества   на неупорядоченные пары (всего существует   таких разбиений). Разбиение   может быть записано

 

где   и  . Пусть

 

обозначает соответствующую перестановку, а  знак перестановки  . Нетрудно видеть, что   не зависит от выбора  .

Пусть   обозначает   кососимметричную матрицу. Для разбиения   определим

 

Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как

 

Пфаффиан кососимметричной матрицы размера   для нечётного n равен нулю по определению.

Рекурсивное определение

Пфаффиан матрицы размера   полагается равным 1; пфаффиан кососимметричной матрицы A размера   при   может быть определён рекурсивно следующим образом:

 

где индекс   может быть выбран произвольно,  функция Хевисайда,   обозначает матрицу A без i-той и j-той колонки и строки.

Альтернативное определение

Для   кососимметричной матрицы   рассмотрим бивектор:

 

где   есть стандартный базис в  . Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

 

где   обозначает внешнее произведение n копий  .

Свойства

Для   кососимметричной матрицы   и для произвольной   матрицы  :

  •  
  •  
  •  
  •  
  • Для блок-диагональной матрицы
 
  • Для произвольной   матрицы  :
 

История

Термин «пфаффиан» был введён Кэли[1] и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Примечания

Литература