Теорема Лапласа

(перенаправлено с «Разложение Лапласа»)

Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году[1], хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.

Формулировка

Для начала, введём несколько определений.

Пусть   — матрица размера  , и пусть выбраны любые   строк матрицы   с номерами   и любые   столбцов с номерами  .

Определитель матрицы, получаемой из   вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме выбранных, называется минором  -го порядка, расположенным в строках с номерами   и столбцах с номерами  . Он обозначается следующим образом:

 

А определитель матрицы, получаемой вычеркиванием только выбранных строк и столбцов из квадратной матрицы, называется дополнительным минором к минору  :

 

где   и   — номера невыбранных строк и столбцов.

Алгебраическое дополнение минора   определяется следующим образом:

 

где  ,  .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема Лапласа

Пусть выбраны любые   строк матрицы  . Тогда определитель матрицы   равен сумме всевозможных произведений миноров  -го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения.
 
где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов  

Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать   столбцов из  , то есть биномиальному коэффициенту  .

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)

Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть   — квадратная матрица размера  . Пусть также задан некоторый номер строки   либо номер столбца   матрицы  . Тогда определитель   может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по  -й строке:

 

Разложение по  -му столбцу:

 

где   — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером   и столбце с номером  .   также называют алгебраическим дополнением к элементу  .

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить   равным 1 и выбрать  -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Следствие 2 (фальшивое разложение определителя)

Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим сумму произведений всех элементов произвольной k-й строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой, скажем, i-й строки матрицы А. Пусть A′ – матрица, у которой все строки, кроме i-й, такие же, как у матрицы А, а элементами i-й строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-й строки матрицы А. Тогда у матрицы A′ две одинаковые строки и, следовательно, по свойству матрицы об одинаковых строках имеем, что |A′| = 0. С другой стороны, по следствию 1 определитель |A′| равен сумме произведений всех элементов i-й строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения. Заметим, что алгебраические дополнения элементов i-й строки матрицы A′ совпадают с алгебраическими дополнениями соответствующих элементов i-й строки матрицы А. Но элементами i-й строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-й строки матрицы А. Таким образом, сумма произведений всех элементов i-й строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения с одной стороны равна нулю, а с другой стороны равна сумме произведений всех элементов k-й строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов i-й строки матрицы А.

Примечания

Литература