Степенной ряд

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .

Содержание

Пространство степенных рядов

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из   обозначается  . Пространство   имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом   (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо  ). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В   определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

 

Тогда:

 
 
  (при этом необходимо, чтобы соблюдалось  )
 

Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путём приписывания формальной переменной   какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

  • Первая теорема Абеля: Пусть ряд   сходится в точке  . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге   и равномерно по   на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при  , он расходится при всех  , таких что  . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга   (возможно, нулевой или бесконечный), что при   ряд сходится абсолютно (и равномерно по   на компактных подмножествах круга  ), а при   — расходится. Это значение   называется радиусом сходимости ряда, а круг   — кругом сходимости.

  • Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:
 

(По поводу определения верхнего предела   см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть   и   — два степенных ряда с радиусами сходимости   и  . Тогда

 
 
 

Если у ряда   свободный член нулевой, тогда

 

Вопрос о сходимости ряда в точках границы   круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

  • Признак Д’Аламбера: Если при   и   выполнено неравенство
 
тогда степенной ряд   сходится во всех точках окружности   абсолютно и равномерно по  .
  • Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда   положительны и последовательность   монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности  , кроме, быть может, точки  .

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра   является предметом изучения теории аналитических функций.

См.также

Вариации и обобщения

Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:

 

или, в мультииндексных обозначениях,

 

где   — это вектор  ,   — мультииндекс  ,   — одночлен  . Пространство степенных рядов от   переменных и коэффициентами из   обозначается  . В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и  -местной суперпозиции. Пусть

 

Тогда:

 
 
 

См.также