Тангенциальный треугольник

Тангенциальный треугольник AtBtCt и ортотреугольник AhBhCh для треугольника ABC.

Если вокруг данного остроугольного треугольника описать окружность и в трех вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует так называемый тангенциальный треугольник по отношению к данному треугольнику . Треугольник по отношению к треугольнику называют тангенциальным треугольником, ибо его стороны , и являются касательными к окружности, описанной около данного треугольника соответственно в вершинах , и .

Замечание

Тангенциальный по латыни означает касательный, хотя термин касательный треугольник   может иметь и несколько более общий смысл, как треугольник, на сторонах которого лежат вершины данного треугольника  .

Координаты вершин

Трилинейные координаты вершин тангенциального треугольника

 
 
 

Свойства

  • Стороны тангенциального треугольника   антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
  • Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
  • Вписанная в тангенциальный треугольник   окружность является описанной окружностью по отношению к данному треугольнику  .
  • Центр вписанной в тангенциальный треугольник   окружности совпадает с центром окружности, описанной около данного треугольника  .
  • Связь между углами тангенциального треугольника и данного треугольника ΔABC
     
  • Центр вписанной в тангенциальный треугольник   окружности совпадает с центром окружности, описанной около данного треугольника  .
  • Для данного треугольника   его тангенциальный треугольник   и ортотреугольник   подобны.
  • Площадь данного треугольника   равна среднему геометрическому между площадями тангенциального треугольника и ортотреугольника.
  • Площадь тангенциального треугольника равна[1]:
 

где   — площадь треугольника  ;   — его соответствующие стороны.

Или[2]

 
  • Стороны тангенциального треугольника равны[2]
 
 
 

Свойства подобия родственных треугольников

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников

  • Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
  • Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
  • Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
  • Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Замечательные точки

Следующая таблица даёт соответствие замечательных точек тангенциального треугольника с центрами исходного треугольника. Xn означает индекс замечательной точки в списке Кимберлинга[5].

Xn Центр тангенциального треугольника Xn Центр исходного треугольника
X2 центроид треугольника X154 X3 чева-сопряженная точка к X6
X3 центр описанной окружности X26 центр описанной окружности тангенциального треугольника
X4 ортоцентр X155 собственный центр ортотреугольника
X5 центр девяти точек X156 X5 тангенциального треугольника
X6 точка пересечения симедиан X157 X6 тангенциального треугольника
X30 бесконечная точка прямой Эйлера X1154 изогональное сопряжение точки X1141
X523 изогональное сопряжение точки X110 X1510 кросс-разность точек Наполеона

См. также

Примечания

  1. Формулу можно вывести из предыдущего свойства и площади ортотреугольника
  2. 1 2 Weisstein, Eric W. Tangential Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Стариков В. Н.  Исследования по геометрии // Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» (Санкт-Петербург). — СПб.: Научный журнал Globus, 2016. — С. 99—100.
  4. Зетель, 1962, следствие 1, § 66, с. 81.
  5. Энциклопедия центров треугольника

Литература

  • Зетель С. И.  Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 38—39. — ISBN 5-94057-170-0.