Теорема Лузина

Теоре́ма Лу́зина — утверждение о необходимых и достаточных условиях измеримости функции одной вещественной или комплексной переменной. Согласно этой теореме, каждая измеримая на отрезке функция есть не что иное, как непрерывная функция, искажённая на некотором множестве сколь угодно малой меры. Это утверждение также часто называют -свойством.

Формулировка

Для того, чтобы функция  , заданная на отрезке  , была измерима, необходимо и достаточно, чтобы она обладала так называемым  -свойством: для любого   найдётся такая функция  , непрерывная на отрезке  , что мера множества   меньше  .

Доказательство

Доказательство в доступной для начинающих форме есть в книге [1]. Кроме того, теорема Лузина несложно выводится из теоремы Егорова[2]. В этой теореме произвольно малое число   нельзя заменить нулём (нарушится необходимость).

История открытия

Примечания

  1. Соболев В. И., Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 135.
  2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа. — гл. V, пар 4.7.

Литература