Теорема Харкорта

Теорема Харкорта

Теорема Харкорта — это формула в геометрии для площади треугольника как функции длин сторон и расстояний от вершин треугольника до произвольной прямой, касательной к вписанной в треугольник окружности[1].

Теорема названа именем Дж. Харкорта, ирландского профессора[2].

Содержание

Утверждение

Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда

 

Вырожденный случай

Если касательная прямая содержит одну из сторон треугольника, то два расстояния равны нулю и формула упрощается до формулы треугольника — удвоенная площадь равна произведению основания на высоту.

Обобщение

 
  • Если на касательную к кругу радиуса x, концентрическому с вписанным кругом, опустить из вершин треугольника перпендикуляры  , то [4].
 .
  • В частности, если x=r, где r -радиус вписанного круга, то мы имеем теорему Харкорта.

Свойство двойственности

Если a', b', c' вместо расстояния до произвольной касательной к вписанной окружности обозначают расстояния от сторон до произвольной точки, равенство

 

остаётся верным[5].

Примечания

  1. Dergiades, Salazar, 2003, с. 117—124.
  2. G.-M., 1912, с. 750.
  3. Dergiades, Salazar, 2003, Thm.3.
  4. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. Следствие на с. 43.
  5. Whitworth, 2012, с. 11.

Литература