Теория приближений

Теория приближений — раздел математики, изучающий вопрос о возможности приближённого представления одних математических объектов другими, как правило более простой природы, а также вопросы об оценках вносимой при этом погрешности. Значительная часть теории приближения относится к приближению одних функций другими, однако есть и результаты, относящиеся к абстрактным векторным или топологическим пространствам.

Теория приближений активно используется при построении численных алгоритмов, а также при сжатии информации.

Содержание

Примеры

  • Вместо вычисления точного значения функции   при малых   можно воспользоваться самим  , то есть  . Чем больше будет  , тем больше будет погрешность такого приближения.
  • Чтобы запомнить некоторую функцию можно запомнить её значения в некоторых точках (говорят: на сетке), а в остальных точках вычислять её по какой-нибудь интерполяционной формуле. Вопрос об оптимальном выборе (для конкретной функции или для функций из какого-то класса) сетки и формулы относится как раз к теории приближения.

История

Приближённые формулы вычисления различных функций (таких, как корень) или констант (таких, как  ) были известны с глубокой древности.

Началом современной теории приближения принято считать работу П. Л. Чебышёва 1857 года, посвященную полиномам, наименее уклоняющимся от нуля (сейчас их называют полиномами Чебышёва первого рода).

Также к числу классических результатов теории приближения относится теорема Вейерштрасса — Стоуна (или аппроксимационная теорема Вейерштрасса).

Журналы

Основные научные журналы, посвященные теории приближения:

  • Journal on Approximation Theory[en] (на английском языке, выпускается в США, сокращенно JAT)
  • East Journal on Approximation[en] (на английском языке, выпускается Россией и Болгарией)
  • Constructive Approximation[en] (на английском языке, выпускается в США)

Конференции

Премии

  • Vasil A. Popov[fr] Prize in Approximation Theory[fr]

Российские и советские математики, занимавшиеся теорией приближений

См. также