Тороидальная система координат

Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.

Определение

Тороидальная система координат   определяется посредством формул перехода из этих координат в декартовы координаты:

 ,

где   — масштабный множитель, который необходимо фиксировать для выбора определённой тороидальной системы координат,  .

Свойства

Координатные поверхности

 торы

 ,

 сферы

 ,

 полуплоскости

 .

Дифференциальные характеристики

 

Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной.

  • Квадрат линейного элемента:
 .
  • Квадрат элемента площади:
 .
  • Элемент объёма:
 .
 .
 .
 
 
 

Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах

  • Градиент скалярной функции в тороидальных координатах задается следующим выражением:
 
 
 

Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах

Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид:

 

Решение удобно искать в виде:

 ,

тогда уравнение для функции  :

 .

После чего можно разделить переменные:

 .

В результате получится система:

 

В случае уравнения Гельмгольца в тороидальных координатах переменные не делятся.

Литература

  • Корн Г., Корн Т. Глава 6. Системы криволинейных координат. 6.5 Формулы для ортогональных систем координат // Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — С. 195. — 832 с.
  • Морс Ф. М., Фешбах Г. Глава 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Таблица разделяющих координат для трёх измерений // Методы теоретической физики. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. — Т. 1. — С. 622. — 930 с.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А. Часть IV. Формулы, таблицы, графики. IV. Различные ортогональные системы координат // Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 732-733. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1.

Ссылки