Точка Лемуана

Треугольник с тремя (голубыми) медианами, с тремя (зелеными) биссектрисами углов и с тремя (красными) симедианами . Симедианы пересекаются в точке Лемуана L, биссектрисы углов - в инцентре I, а медианы - в центроиде G.

То́чка Лемуа́на (точка пересечения симедиан, точка Гребе, обозначается или ) — одна из замечательных точек треугольника.

Определение

У точки Лемуана существует три равносильных определения:

  • точка пересечения прямых, соединяющих каждую вершину треугольника с точками пересечения касательных к описанной окружности, проведённых из двух других вершин.
  • точка пересечения симедиан.
  • точка пересечения прямых, соединяющих середины сторон треугольника с серединами соответствующих им высот.

Утверждение о равносильности первых двух определений называется теоремой о симедиане.

Шестиугольник Лемуана, вписанный в данный опорный треугольник

Шестиугольник Лемуана представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечениями сторон треугольника с тремя линиями, которые параллельны сторонам и которые проходят через его точку Лемуана. В любом треугольнике шестиугольник Лемуана находится внутри треугольника с тремя парами вершин, лежащих попарно на каждой стороне треугольника.

Круги Лемуана

Лемуан доказал, что если прямые линии проходят через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника, то шесть точек пересечения линий и сторон треугольника лежат на одной окружности, или что они лежат на окружности. [1]. Эта окружность теперь известна, как первый круг или окружность Лемуана, или просто как круг Лемуана.[2]. Иными словами, шестиугольник Лемуана, определенный выше, является вписанным в окружность Лемуана.

История

Впервые точку Лемуана (Lemoine Point) обнаружил (1809) швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье. Этой точке было посвящено исследование (1847) Эрнста Вильгельма Гребе (Grebe), в честь которого в Германии она называлась точкой Гребе (Grebe point). Точка названа в честь французского геометра Эмиля Лемуана, опубликовавшего доказательство существования точки (1873). Росс Хонсберегер (Ross Honsberger) назвал существование точки Лемуана "одним из драгоценных камней в короне современной геометрии".[3]

Свойства

  • Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана.
  • Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон.
  • Точка Лемуана является точкой пересечения медиан треугольника, образованного проекциями точки Лемуана на стороны. Более того, такая точка единственна.
  • Точка Лемуана является точкой Жергонна треугольника, образованного касательными к описанной окружности в вершинах треугольника. Этот треугольник называется тангенциальным треугольником.
  • Точке Лемуана изогонально сопряжена точке пересечения медиан
  • Точке Лемуана изотомически сопряжена его точке Брокара (третьей, в энциклопедии центров треугольника обозначенной как Х(76) ).
  • Точка Лемуана является антиперспектором описанной окружности. Трилинейные поляры точек на описанной окружности проходят через точку Лемуана.

Две окружности Лемуана

  • Если провести через точку Лемуана отрезки, антипараллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности ((первой) окружности Лемуана). Точка Лемуана будет её центром.
  • Если провести через точку Лемуана отрезки, параллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности (второй окружности Лемуана).

Координаты

Ссылки

Примечания

  1. Nathan Altshiller Court. College Geometry. — 2. — New York : Barnes and Noble, 1969. — ISBN 0-486-45805-9.
  2. Lachlan, Robert. An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. — Cornell University Library, 1893-01-01. — ISBN 978-1-4297-0050-4.
  3. Honsberger, Ross (1995), "Chapter 7: The Symmedian Point", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, D.C.: Mathematical Association of America .
  4. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 50.