Точка Нагеля

N — точка Нагеля треугольника ABC.

Точка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.

Обычно обозначается .

Свойства

 
Прямая Нагеля.  инцентр,   — центроид,   — центр Шпикера,   — точка Нагеля.
  • Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1. Эта прямая называется прямой Нагеля (см. рисунок).
  • Если точки   таковы, что каждый из отрезков  ,   и   делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
  • Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна.
  • Точка Нагеля изогонально сопряжена с центром положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
  • Расстояние между ортоцентром   и точкой Нагеля   равно диаметру окружности Фурмана и равно
 .

Треугольник Нагеля

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами TA, TB и TC, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка TA противоположна стороне A, и т. д.

Свойства

  • Описанная вокруг треугольника TATBTC окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта).
  • Три прямые ATA, BTB и CTC делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).
  • Перпендикуляры, восстановленные в трех вершинах треугольника Нагеля к сторонам основного треугольника (то есть в точках касания вневписанных окружностей со сторонами основного треугольника), пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[2].

Замечание

Точка Нагеля относится к слабым точкам. Поэтому следует говорить не об одной, а о нескольких точках Нагеля. То есть, соединение других точек касания вневписанных окружностей с вершинами треугольника дает ещё три точки Нагеля.

История

Названа по имени Христиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836 г.

См. также

Примечания

  1. Weisstein, Eric W. Fuhrmann Circle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М. : МЦНМО, 2002. C. 11, п. 5.

Ссылки