Точки Вектена

Внешняя и внутренняя точки Вектена


В планиметрии внешняя и внутренняя точки Вектена — точки, которые строятся на основе данного треугольника аналогично первой и второй точкам Наполеона. Однако для построения выбираются центры не равносторонних треугольников, а квадратов, построенных на сторонах данного треугольника (см. рис.).

Внешняя точка Вектена

Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB наружу построим три квадрата соответственно с центрами  . Тогда линии   и   пересекаются в одной точке, называемой внешней точкой Вектена треугольника ABC.

В Энциклопедии центров треугольника внешняя точка Вектена обозначается как X(485)[1].

История

Внешняя точка Вектена названа так в начале 19-го века в честь французского математика Вектена, который изучал математику в одно время с Жергонном (Joseph Diaz Gergonne) в Ниме (Nîmes) и опубликовал своё исследование о фигуре в виде трех квадратов, построенной на трех сторонах треугольника в 1817-ом году[2]. По другим данным, это произошло в 1812/1813 годах. При этом ссылаются на работу[3].

Внутренняя точка Вектена

Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB наружу построим три квадрата соответственно с центрами  . Тогда линии   и   пересекаются в одной точке, называемой внутренней точкой Вектена треугольника ABC. В Энциклопедии центров треугольника внутренняя точка Вектена обозначается как X(486)[1].

Прямая   пересекает прямую Эйлера в Центре девяти точек треугольника  . Точки Вектена лежат на гиперболе Киперта.

Положение на гиперболе Киперта

Координаты внешней и внутренней точек Вектена получаются из уравнения гиперболы Киперта при значениях угла   при основаниях треугольников соответственно π/4 и -π/4.

Трилинейные и барицентрические координаты

Точки Вектена (  и  )
Трилинейные координаты  
Барицентрические координаты  
знак «плюс» применяется для внешней точки Вектена. а знак «минус» для внутренней точки.

Ассоциации

Рисунок выше для построения внешней точки Вектена в случае, если оно проводится для прямоугольного треугольника совпадает с рисунком одного из доказательств теоремы Пифагора (см. на рис. ниже так называемые пифагоровы штаны).

 
Пифагоровы штаны. Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты   и  , равна площади квадрата, построенного на гипотенузе  
 
Пифагоровы штаны. Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности  , площадь которых составляет половину площади прямоугольников   и   соответственно.

См. также

  • Точки Наполеона — пара треугольных центров, построенных аналогичным образом с использованием равносторонних треугольников вместо квадратов

Примечания

  1. 1 2 Kimberling, Clark Encyclopedia of Triangle Centers.
  2. Ayme, Jean-Louis, La Figure de Vecten, <http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/La%20figure%20de%20Vecten.pdf>. Проверено 4 ноября 2014. 
  3. Peter Ladislaw Hammer, Ellis Lane Johnson, Bernhard H. Korte. Discrete Optimization II. — Amsterdam: Elsevier, 2000. — ISBN 978-0-08-086767-0.

Ссылки