Точки Наполеона

Точки Наполеона в геометрии — пара специальных точек на плоскости треугольника. Легенда приписывает обнаружение этих точек французскому императору Наполеону I, однако его авторство сомнительно[1]. Точки Наполеона относятся к замечательным точкам треугольника и перечислены в Энциклопедии центров треугольника как точки X(17) и X(18).

Название «точки Наполеона» применяется также к различным парам центров треугольника, более известных как изодинамические точки[2].

Определение точек

Первая точка Наполеона

 
Первая точка Наполеона

Пусть ABC — любой треугольник на плоскости. На сторонах BC, CA, AB треугольника строим внешние правильные треугольники DBC, ECA и FAB соответственно. Пусть центроиды этих треугольников — X, Y и Z соответственно. Тогда прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке, и эта точка N1 является первой (или внешней) точкой Наполеона треугольника ABC.

Треугольник XYZ называется внешним треугольником Наполеона треугольника ABC. Теорема Наполеона утверждает, что этот треугольник является правильным.

В Энциклопедии центров треугольника первая точка Наполеона обозначена как X(17).[3]

 
 

Вторая точка Наполеона

 
Вторая точка Наполеона

Пусть ABC — любой треугольник на плоскости. На сторонах BC, CA, AB треугольника строим внутренние равносторонние треугольники DBC, ECA и FAB соответственно. Пусть X, Y и Z — центроиды этих треугольников соответственно. Тогда прямые AX, BY а CZ пересекаются в одной точке, и эта точка N2 является второй (или внутренней) точкой Наполеона треугольника ABC.

Треугольник XYZ называется внутренним треугольником Наполеона треугольника ABC. Теорема Наполеона утверждает, что этот треугольник является правильным.

В Энциклопедии центров треугольника вторая точка Наполеона обозначена как X(18).[3]

  • Трилинейные координаты точки N2:
 
  • Барицентрические координаты точки N2:
 

Две точки, тесно связанные с точками Наполеона — это точки Ферма (X13 и X14 в энциклопедии точек). Если вместо прямых, соединяющих центроиды равносторонних треугольников с соответствующими вершинами, провести прямые, соединяющие вершины равносторонних треугольников с соответствующими вершинами исходного треугольника, так построенные три прямые будут пересекаться в одной точке. Точки пересечения называются точками Ферма и обозначаются как F1 и F2. Пересечение прямой Ферма (то есть прямой, соединяющей две точки Ферма) и прямой Наполеона (то есть прямой, соединяющей две точки Наполеона) является симедианой треугольника (точка X6 в энциклопедии центров).

Свойства

  •  
    Гипербола Киперта

Гипербола Киперта — описанная гипербола, проходящая через центроид и ортоцентр. Если на сторонах треугольника построить подобные равнобедренные треугольники (наружу или внутрь), а затем соединить их вершины с противоположными вершинами исходного треугольника, то три таких прямые пересекутся в одной точке, лежащих на гиперболе Киперта. В частности, на этой гиперболе лежат точки Торричелли и точки Наполеона (точки пересечения чевиан, соединяющие вершины с центрами построенных на противоположных сторонах правильных треугольников)[4].


Обобщения

Результат о существовании точек Наполеона может быть обобщён различным образом. При определении точек Наполеона мы использовали равносторонние треугольники, построенные на сторонах треугольника ABC, а затем выбирали центры X, Y и Z этих треугольников. Эти центры можно рассматривать как вершины равнобедренных треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC с углом при основании π/6 (30 градусов). Обобщения рассматривают другие треугольники, которые, будучи построенными на сторонах треугольника ABC, имеют аналогичные свойства, то есть прямые, соединяющие вершины построенных треугольников с соответствующими вершинами исходного треугольника, пересекаются в одной точке.

Равнобедренные треугольники

 
Точка на гиперболе Киперта.
 
Гипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола проходит через вершины (A,B,C), ортоцентр (O) и центроид (G) треугольника.

Это обобщение утверждает:[5]

Если три треугольника XBC, YCA и ZAB построены на сторонах треугольника ABC, являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все построены с внешней стороны, либо все построены с внутренней стороны), то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке N.

Если общий угол при основании равен  , то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты.

  •  
  •  
  •  

Трилинейные координаты точки N

 

Несколько частных случаев.

Значение   Точка  
0 G, центроид треугольника ABC (X2)
π /2 (или, — π /2) O, ортоцентр треугольника ABC(X4)
 [6] Центр Шпикера (X10)
π /4 Внешняя точка Вектена(Vecten points) (X485)
— π /4 Внутренняя точка Вектена (Vecten points) (X486)
π /6 N1, первая точка Наполеона (X17)
- π /6 N2, вторая точка Наполеона (X18)
π /3 F1, первая точка Ферма (X13)
- π /3 F2, вторая точка Ферма (X14)
- A (если A < π /2)
π — A (если A > π /2)
Вершина A
- B (если B < π /2)
π — B (если B > π /2)
Вершина B
- C (если C < π /2)
π — C (если C > π /2)
Вершина C

Более того, геометрическое место точек N при изменении угла при основании треугольников   между -π/2 и π/2 является гиперболой

 

где   — трилинейные координаты точки N в треугольнике.

История

Эта гипербола называется гиперболой Киперта (в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert), 1846—1934 [5]). Эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через точки A, B, C, G и O.

Замечание

Очень похожим свойством обладает Центр Шпикера. Центр Шпикера S является точкой пересечений прямых AX, BY и CZ, где треугольники XBC, YCA и ZAB подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника ABC снаружи, имеющие один и тот же угол у основания  [6].

Подобные треугольники

 
Обобщение точки Наполеона — частный случай

Чтобы три прямые AX, BY и CZ пересекались в одной точке, треугольники XBC, YCA и ZAB, построенные на сторонах треугольника ABC, не обязательно должны быть равнобедренными[7].

Если подобные треугольники XBC, AYC и ABZ построены с внешних сторон на сторонах произвольного треугольника ABC, то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке.

Произвольные треугольники

Прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке даже при более слабых условиях. Следующее условие является одним из наиболее общих условий, чтобы прямые AX, BY и CZ пересекались в одной точке[7].

Если треугольники XBC, YCA и ZAB построены с внешней стороны на сторонах треугольника ABC так, что
∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY,
то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке.
 
Обобщение точки Наполеона

Об открытии точек Наполеона

Коксетер и Грейтцер формулируют теорему Наполеона следующим образом: Если равносторонние треугольники построены с внешней стороны на сторонах любого треугольника, то их центры образуют равносторонний треугольник. Они замечают, что Наполеон Бонапарт был немного математиком и имел большой интерес к геометрии, однако они сомневаются, что он был достаточно геометрически образован, чтобы открыть теорему, приписываемую ему[1].

Самая ранняя сохранившаяся публикация с точками — статья в ежегодном журнале «The Ladies’ Diary» (Женский дневник, 1704—1841) в номере за 1825 год. Теорема входила в ответ на вопрос, посланный У. Резенфордом, однако в этой публикации Наполеон не упоминается.

В 1981 году немецкий историк математики Христоф Скриба (Christoph J. Scriba) опубликовал результаты исследования вопроса приписывания точек Наполеону в журнале Historia Mathematica[8].

См. также

Примечания

  1. 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967, с. 61–64.
  2. Rigby, 1988, с. 129–146.
  3. 1 2 Kimberling, Clark Encyclopedia of Triangle Centers. Дата обращения 2 мая 2012.
  4. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 125—126.
  5. 1 2 Eddy, Fritsch, 1994, с. 188–205.
  6. 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  7. 1 2 de Villiers, 2009, с. 138–140.
  8. Scriba, 1981, с. 458–459.

Литература

  • J. F. Rigby. Napoleon revisited // Journal of Geometry. — 1988. — Т. 33, вып. 1—2. — С. 129—146. — DOI:10.1007/BF01230612.
  • The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Mathematics Magazine. — 1994. — Т. 67 June, вып. 3. — DOI:10.2307/2690610.
  • Michael de Villiers. Some Adventures in Euclidean Geometry. — Dynamic Mathematics Learning, 2009. — ISBN 9780557102952.
  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Geometry Revisited. — Mathematical Association of America, 1967. Перевод: Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. — Москва: «Наука», 1978. — (Библиотека математического кружка).
  • Christoph J Scriba. Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen? // Historia Mathematica. — 1981. — Т. 8, вып. 4. — DOI:10.1016/0315-0860(81)90054-9.
  • Stachel, Hellmuth. Napoleon's Theorem and Generalizations Through Linear Maps (англ.) // Contributions to Algebra and Geometry : journal. — 2002. — Vol. 43, no. 2. — P. 433—444.
  • Grünbaum, Branko. A relative of "Napoleon's theorem" (неопр.) // Geombinatorics. — 2001. — Т. 10. — С. 116—121.
  • Katrien Vandermeulen, et al. Napoleon, a mathematician ?. Maths for Europe. Дата обращения 25 апреля 2012.
  • Bogomolny, Alexander Napoleon's Theorem. Cut The Knot! An interactive column using Java applets. Дата обращения 25 апреля 2012.
  • Napoleon's Thm and the Napoleon Points. Дата обращения 24 апреля 2012.
  • Weisstein, Eric W. Napoleon Points. From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Дата обращения 24 апреля 2012.
  • Philip LaFleur Napoleon’s Theorem. Дата обращения 24 апреля 2012. Архивировано 7 сентября 2012 года.
  • Wetzel, John E. Converses of Napoleon's Theorem (апрель 1992). Дата обращения 24 апреля 2012. Архивировано 29 апреля 2014 года.