Треугольник трёх внешних биссектрис

Треуго́льник трёх вне́шних биссектри́с

Треуго́льник трёх вне́шних биссектри́с (треуго́льник це́нтров вневпи́санных окру́жностей) треугольник, образованный точками пересечения внешних биссектрис друг с другом в центрах вневписанных окружностей исходного треугольника[1]. (см. рис.)

Содержание

Свойства

  • Центр окружности, проходящей через центры   вневписанных окружностей, является точкой Бевэна.
  • Исходный треугольник   является ортотреугольником для треугольника внешних биссектрис.
  • Описанная окружность исходного треугольника является для треугольника внешних биссектрис окружностью Эйлера.
  • Описанная окружность исходного неравнобедренного (в общем случае) треугольника пересекает стороны треугольника внешних биссектрис в шести разных точках. Три из них являются вершинами исходного треугольника, а три других делят стороны треугольника внешних биссектрис пополам (см. свойства окружности Эйлера).
  • Точка пересечения симедиан треугольника трёх внешних биссектрис является центром эллипса Мандара исходного опорного треугольника.
 
Ось внешних биссектрис или антиортовая ось (antiorthic axis) — трилинейная поляра центра вписанной окружности (инцентра) треугольника ABC)
  • Все три основания D, E и F трех внешних биссектрис соответственно AD, CE и BF внешних углов ортотреугольника   для треугольника трёх внешних биссектрис   лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис или антиортовой осью DEF (antiorthic axis) ортотреугольника   (см. рис.). Эта ось также является трилинейной полярой центра вписанной окружности (инцентра).

Свойства подобия родственных треугольников

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников

  • Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
  • Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
  • Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
  • Пусть, точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Примечания

  1. 1 2 Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). СПб.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100
  2. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. следствие 1, § 66, с. 81