Условная вероятность

Усло́вная вероя́тность — вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло. Вероятность события , вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно (событие  произошло), мы будем обозначать через . Например, вероятность того, что у какого-то человека будет кашель в произвольный день . Но если мы знаем или предполагаем, что у человека простуда, тогда у него гораздо больше шансов начать кашлять. Таким образом, условная вероятность кашля у любого человека при условии, что он простужен, выше .

Условная вероятность является одним из наиболее фундаментальных и одним из наиболее важных понятий теории вероятностей.

Если , то события и называются независимыми, т.е наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Кроме того, в общем случае . Например, если у вас лихорадка денге (событие ), то вероятность получить положительный результат теста на лихорадку (событие ) , то есть . И, наоборот, если вы получили положительный результат теста на лихорадку денге, вероятность того, что она у вас есть всего . В этом случае произошло событие (наличие лихорадки дегне) при условии события (тест положительный), т.е. . При ошибочном приравнивании двух вероятностей возникают различные заблуждения, такие как ошибка базового процента. Для точного подсчета условной вероятности используют теорему Байеса.

Содержание

Определение

В соответствии с событием

Определение Колмогорова

Пусть два события   и   принадлежат  - полю вероятностного пространства и  . Условная вероятность   при условии   равняется частному от деления вероятности событий   и   на вероятность  :

 

Обратите внимание на то, что это определение, а не теоретический результат. Мы просто обозначаем величину   как   и называем её условной вероятностью   при условии  .

Условная вероятность как аксиома вероятности

Некоторые авторы, такие как де Финетти, предпочитают вводить условную вероятность как аксиому вероятности:

 .

Условная вероятность как вероятность условного события

 
Круговая диаграмма Венна для условной вероятности

Условную вероятность можно обозначить как вероятность условного события  . Предполагается, что испытание, лежащее в основе событий   и  , повторяется. Тогда условная вероятность равна

 ,

что соответствует определению условной вероятности Колмогорова. Заметим, что уравнение  является теоретическим результатом, а не определением. Определение через условные события можно понять в терминах аксиом Колмогорова и, особенно близко к колмогоровской интерпретации вероятности, в терминах экспериментальных данных. Например, условные события могут повторяться, что приводит к обобщенному понятию условного события   Их можно записать как последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин  откуда следует усиленный закон больших чисел для условной вероятности:

 

Теоретико-множественное определение

Если  , то, согласно определению, условная вероятность  не задана. Однако её можно определить относительно σ-алгебры таких событий (например, возникающих из непрерывной случайной величины).

Например, если  и  - невырожденные и совместно непрерывные случайные величины с плотностью распределения   и   имеет положительную меру, то

 

Случай, когда мера   равна нулю, проблематичен. Если  , то условную вероятность можно попытаться записать в виде

 

однако этот подход приводит к парадоксу Бореля-Колмогорова. Общий случай нулевой меры еще более проблематичен, потому что предел, при всех  стремящихся к нулю,

 

зависит от их отношения, когда они стремятся к нулю.

Корректно условную вероятность в общем виде можно задать как условное математическое ожидание от индикаторной функции. При этом, поскольку условное математическое ожидание задано с точностью до почти всюду, условную вероятность от события, имеющего вероятность ноль, можно доопределить произвольным образом. Ситуация меняется, если событие зависит от некоторого параметра. В этом случае, хотя вероятность каждого значения параметра может оказаться ноль, а значит и  условная вероятность при каждом таком параметре формально не задана, можно определить зависящую от параметра условную вероятность так, чтобы она была корректна определена почти всюду.

В соответствии со случайной величиной

Пусть   - случайная величина, а   - событие. Условная вероятность   при условии   обозначается как случайная величина  , которая принимает значение

 

всякий раз, когда

 

Это можно записать более формально

 

Теперь условная вероятность  уже является функцией от  : например, если функция   определяется как

 

тогда

 

В частности,  задано только почти всюду. В общем случае,  корректно ввести через условное математическое ожидание: условное математическое ожидание функции  относительно случайной величины  . В случае дискретной случайной величины  корректно воспользоваться теоретико-множественным определением, поскольку события  имеют ненулевую вероятность.

Частичная условная вероятность

Частичная условная вероятность  события   при условии событий  , произошедших с вероятностью  не равна  

Частичная условная вероятность имеет смысл, если условия проверятся в серии из  повторений эксперимента. Такая  - ограниченная частичная условная вероятность может быть определена как условное математическое ожидание появления события   в серии из  проверок, которые соответствуют всем вероятностным спецификациям  , то есть:

 

Исходя из этого, частичную условную вероятность можно записать как

 , где  

Примеры

Предположим, что кто-то бросает две честные шестигранные кости, и мы должны предсказать результат.

Пусть  - значение, выпавшее на первой кости.

Пусть   - значение, выпавшее на второй кости.

Какова вероятность того, что  ?

В таблице 1 показано вероятностное пространство из   случаев.

Ясно, что   ровно в   случаях из  ; таким образом,  

Таблица 1
+  
1 2 3 4 5 6
  1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

Какова вероятность того, что  ?

В таблице 2 показано, что   ровно для   из тех же   результатов, таким образом,  

Таблица 2
+  
1 2 3 4 5 6
  1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

Какова вероятность того, что   при условии, что  ?

В таблице 3 показано, что   при условии, что   ровно для   из   результатов .

Таким образом, условная вероятность   Это видно из определения, введенного нами ранее:

 

Таблица 3
+  
1 2 3 4 5 6
  1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

Независимость событий

События   и   называются независимыми, если

 

Если  , то

 

Аналогично, если  , то

 

Независимые события против взаимоисключающих событий

Как говорилось ранее, независимость событий означает, что

 

при условии, что вероятность условия не равна нулю. Однако если события взаимоисключающие, то

 

Фактически, взаимоисключающие события не могут быть независимыми, поскольку знание о том, что одно из событий произошло, говорит о том, что другое не произошло.

Заблуждения

Вероятность события А при условии B равна вероятности события B при условии А

В общем случае нельзя считать, что   Связь между   и   задается формулой Байеса:

 

То есть   только если   что равносильно  

Предельная вероятность равна условной вероятности

В общем случае нельзя считать, что   Эти вероятности связаны формулой полной вероятности:

 

где события  образуют счетное разбиение  .

Это заблуждение может возникнуть в результате смещения выбора. Например, в контексте медицинского утверждения,  является событием, которое происходит вследствие хронической болезни   при обстоятельстве (острое состояние)  . Пусть  - событие, когда человек обращается за медицинской помощью. Предположим, что в большинстве случаев   не вызывает  , поэтому   является низкой. Предположим также, что медицинское вмешательство требуется только, если   произошло из-за  . Исходя из опыта пациентов, врач может ошибочно заключить, что   высока. Фактической вероятностью, наблюдаемой врачом, является  .

Формальное определение

Формально   можно задать как новую вероятность на том же вероятностном пространстве, потребовав, чтобы вероятность событий, содержащихся целиком в  , изменилась в одно и то же число раз, а  события, целиком содержащиеся в не  , имеют вероятность  .

Пусть  - пространство элементарных исходов  . Предположим, что произошло событие  . Новое значение вероятности будет присвоено  . Новое распределение для некоторого постоянного коэффициента  равно:

 

Подставляем 1 и 2 в 3, чтобы выразить α:

 

Таким образом, новое распределение равно

 

Теперь для события  :

 

См. также