Ферми-газ

Фе́рми-газ (или идеальный газ Фе́рмиДира́ка) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака — электронный газ.

Газ Ферми — Дирака при нулевой температуре

Самая низкая энергия классического газа (или газа Бозе — Эйнштейна) при   равна  . То есть при нулевой температуре все частицы падают в самое низкое состояние и теряют всю свою кинетическую энергию. Однако, для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной ферми-частице с полуцелым спином.

Самую низкую энергию газа   с   частиц можно получить путём размещения по одной частице в каждом из   квантовых состояний с наименьшей энергией. Поэтому энергия   такого газа при   будет отличной от нуля.

Величину   несложно вычислить. Обозначим через   энергию электрона в самом высоком квантовом состоянии, которое ещё заполнено при  . При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже   заняты, а все квантовые состояния с энергией выше   — свободны.

Поэтому должно существовать ровно   состояний с энергией ниже или равной  . Этого условия достаточно для нахождения  . Поскольку объём микроскопический, трансляционные состояния находятся близко один к другому в импульсном пространстве и мы можем заменить суммирование по трансляционным квантовым состояниям   интегрированием по классическому фазовому пространству, предварительно разделив на  :

 

где   — число внутренних квантовых состояний, которые соответствуют внутренней энергии. Число  , для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от   до  , величины импульса самого высокого заполненного при   состояния с энергией  , и приравнивая результат к  , получаем с учётом того, что  :

 
 
 

или для электронов с  :

 

Величину  , наивысшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.

Газ Ферми — Дирака при конечной температуре

Для ненулевых значений параметра   плотность числа электронов   в энергетическом пространстве находим путём умножения квантовых плотностей состояний

 

на множитель  , который даёт число электронов на одно квантовое состояние:

 

где величина  химический потенциал при  , а   — химический потенциал при данной температуре.

Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям  , то можно определить   как функцию от температуры.

Сравнивая результат, который входит в   полного числа частиц  . Отсюда видно, что для   величина   есть функция параметров   и  .

Энергию можно найти из соотношения:

 

откуда видно, что тут мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:

 

в котором функция   есть некоторая простая и непрерывная функция от  , например   или  , и

 

Следует отметить, что величина   имеет порядок от   до   К для большинства металлов.

Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате получим приблизительное значение химического потенциала:

 

которое выражает химический потенциал   через параметры   и  .

Тут следует отметить, что эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температур первая добавка составляет достаточно малую величину —  . Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом ферми.

См. также

Литература

  • Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. — 2-е изд. перераб. — М.: Мир, 1980. — 544 с.

Ссылки