Формула Лиувилля — Остроградского

Формула Остроградского-Лиувилля — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Пусть есть дифференциальное уравнение вида

тогда где  — определитель Вронского

Для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

где  — непрерывная квадратная матрица порядка , справедлива формула Лиувилля-Остроградского

где след матрицы

Правило дифференцирования определителя размерности 2

Производная определителя   по переменной х имеет вид  

Правило дифференцирования определителя размерности

Пусть  

Тогда для производной   верно

 

 -м слагаемом продифференцирована  -я строка)

Доказательство для уравнения второго порядка

Пусть в уравнении   функции   непрерывны на  , а

  — решения данного уравнения.

Продифференцировав определитель Вронского, получим

 

Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив

 

 

во второе слагаемое, получим

 

Прибавив первую строку, домноженную на q, ко второй, получим

 

решения линейно независимы, поэтому

  — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя, получим

 

Доказательство для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть вектор-функции   — решения линейной системы ОДУ. Введем матрицу   следующим образом

 

Тогда  . Воспользуемся тем, что   — решения системы ОДУ, то есть  .

В матричном виде последнее представимо в виде  

или вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента

 

Пусть   —  -я строка матрицы  . Тогда

 

Последнее означает, что производная от  -й строки матрицы   есть линейная комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из  -й строки матрицы  . Рассмотрим определитель матрицы  , в которой  -я строка продифференцирована. Определитель не изменится, если из  -й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию всех остальных строк.

 

Пользуясь формулой дифференцирования определителя, получаем

 

Последнее обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение

 

Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка

Линейное дифференциальное уравнение  -го порядка

 

эквивалентно следующей системе

 

с матрицей   следующего вида

 

Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы   равен  . Подстановкой в формулу для системы получаем

 

Применение формулы Лиувилля-Остроградского

Пусть известно решение   линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, т. е.  . Используя формулу Лиувилля-Остроградского, возможно найти линейно независимое от него решение   той же системы.

Распишем вронскиан:

 

  поэтому

  

Так как для линейной независимости   и   достаточно  , приняв  , получим  

Пример

Пусть в уравнении   известно частное решение  . Воспользовавшись формулой Лиувилля-Остроградского, получим

 

Тогда общее решение однородного уравнения  

Используемая литература

  • Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения. Учебник для вузов — М. Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999. — 336 с. (Серия Математика в техническом университете; Вып. VIII), Глава 5 параграф 2.
  • Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 344 с.