Функциональный ряд

Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

Содержание

Функциональная последовательность

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве  , включённом в d-мерное евклидово пространство  .

 

Поточечная сходимость

Функциональная последовательность   сходится поточечно к функции  , если  .

Равномерная сходимость

Существует функция   такая, что:  

Факт равномерной сходимости последовательности   к функции   записывается:  

Функциональный ряд

 

  — n-ная частичная сумма.

Сходимость

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность   его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность   его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости ряда

  при  

Или, что эквивалентно  , где Х - область сходимости.

Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций  , определённых на множестве  , равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого  , начиная с некоторого номера  , при всех  , больше либо равных  , одновременно для всех   значения функций   и   различались не более, чем на  .

 

Абсолютная и условная сходимость

Ряд   называется абсолютно сходящимся, если   сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд   сходится, а   расходится, то ряд   называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд   сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

  1. Ряд   сходится равномерно.
  2.  

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда  . Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость.

Признак Дирихле

Ряд   сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

  1. Последовательность действительнозначных функций   монотонна   и  
  2. Частичные суммы   равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд   сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

  1. Последовательность действительнозначных функций   равномерно ограничена и монотонна  .
  2. Ряд   равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Теоремы о непрерывности

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве  

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Последовательность  
  функция   непрерывна в точке  
Тогда   непрерывна в  .

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Ряд  
  функция   непрерывна в точке  
Тогда   непрерывна в  .

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

  функция   непрерывна на отрезке  
  на  
Тогда числовая последовательность   сходится к конечному пределу  .

Теорема о почленном интегрировании.

  функция   непрерывна на отрезке  
  на  
Тогда числовой ряд   сходится и равен  .

Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

  функция   дифференцируема (имеет непрерывную производную) на отрезке  
  сходится (к конечному пределу)
  на отрезке  
Тогда   — дифференцируема на  ,   на  

Теорема о почленном дифференцировании.

  функция   дифференцируема на отрезке  
  сходится
  равномерно сходится на отрезке  
Тогда   — дифференцируема на  ,   на  

Ссылки