Цепная линия

Висящая цепь образует цепную линию
Цепная линия при различных значениях параметра

Цепна́я ли́ния — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

Уравнение в декартовых координатах:

(о функции см. гиперболический косинус).

Свойства

  • Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
  • Длина дуги от вершины до произвольной точки (x, y):
     
  • Радиус кривизны:
     
  • Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс:
     
  • Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия [1].

Применения

Арка

Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не изгиба.

На арке «Ворота Запада» в Сент-Луисе написана формула её цепной линии в футах :[2]

 

В метрах это

 

Мосты

Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

Стоит заметить, что форма тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии[3]. Это связано с тем, что основная нагрузка распределена в пролёте моста, а не в тросах.

История

Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли[4].

Примечания

  1. Савёлов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.
  2. Barrow, John D., 1952-. Cosmic imagery : key images in the history of science. — ISBN 9781448113675, 1448113679.
  3. Paul Kunkel. Hanging With Galileo (англ.) (HTML). Whistler Alley Mathematics — whistleralley.com. Дата обращения 24 июля 2012. Архивировано 6 августа 2012 года.
  4. Меркин, 1980, с. 47.

Литература