Цилиндрическая система координат

Точка в цилиндрических координатах.

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой ), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка даётся как . В терминах прямоугольной системы координат:

  •  — расстояние от до , ортогональной проекции точки на плоскость . Или то же самое, что расстояние от до оси .
  •  — угол между осью и отрезком .
  • равна аппликате точки .

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения .

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр (цилиндрическая поверхность) в прямоугольных координатах имеет уравнение , а в цилиндрических — очень простое уравнение . Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Переход к другим системам координат

 
2 точки в цилиндрических координатах.

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Декартова система координат

Орты цилиндрической системы координат связаны с декартовыми ортами следующими соотношениями:

 

и образуют правую тройку:

 

Обратные соотношения имеют вид:

 

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

 

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

 

Якобиан равен:

 

Дифференциальные характеристики

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

 
  • Квадрат дифференциала длины кривой
 
 
 

Остальные равны нулю.

Дифференциальные операторы

Градиент в цилиндрической системе координат:

 

Дивергенция в цилиндрической системе координат:

 

Ротор в цилиндрической системе координат:

 

Выражения для радиус-вектора, скорости и ускорения в цилиндрических координатах

 

 

 

См. также

Литература

  • Халилов В.Р., Чижов Г.А., Динамика классических систем: Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1993. — 352 с.