Циссоида Диокла

Рис. 1. Построение циссоиды. Синяя и красная линии — ветви циссоиды.

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по , а ось ординат по , на отрезке , как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке проводится касательная . Из точки проводится произвольная прямая , которая пересекает окружность в точке и касательную в точке . От точки , в направлении точки , откладывается отрезок , длина которого равна длине отрезка . При вращении линии вокруг точки , точка описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Уравнения

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

 

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

 

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

 
 
 

Параметрическое уравнение циссоиды:

   

где

 .

История

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка  , которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке  ; ось симметрии — диаметр  . Из точки   проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка  , принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой  . Этим методом Диокл построил только кривую   внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды ( ) замкнуть дугой окружности  , то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — χισσος («хиссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Свойства

  • Циссоида симметрична относительно оси абсцисс.
  • Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках   и  , которые принадлежат диаметру этой окружности.
  • Циссоида имеет один касп и асимптоту  , уравнение которой:  , где   — радиус вспомогательной окружности.
  • Циссоида является эвольвентой параболы с каспом в вершине параболы. При этом директриса параболы является ассимптотой циссоиды.[1]

Площадь между циссоидой и асимптотой

Эта площадь равна:

 

Объём тела вращения

Объём ( ) тела, образованного при вращении ветви   вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

 
 
 

Если  , то  , то есть  .

Примечания