Экспонента

График экспоненты (синим).
Касательная (красным) в нуле у функции наклонена на .
Рядом для примера показаны (точками) и (пунктиром)

Экспоне́нта — показательная функция , где  — число Эйлера .

Содержание

Определение

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

 

или через предел:

 

Здесь   — любое комплексное число.

Свойства

  •  , а в частности, экспонента — единственное решение дифференциального уравнения   с начальными данными  . Кроме того, через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
  • Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
  • Экспонента — выпуклая функция.
  • Обратная функция к ней — натуральный логарифм  .
  • Фурье-образ экспоненты не существует.
  • Однако преобразование Лапласа существует.
  • Производная в нуле равна  , поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом  .
  • Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:
     .
    • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна  , либо имеет вид  , где   — некоторая константа.

Комплексная экспонента

 
График экспоненты в комплексной плоскости.
Легенда

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением  , где   есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты   вещественного переменного  :

Определим формальное выражение

 .

Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции  , то есть показать, что   разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

 

Сходимость данного ряда легко доказывается:

 .

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции  . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция   всюду определена и аналитична.

Свойства

  • Комплексная экспонента — целая голоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в ноль.
  •   — периодическая функция с основным периодом 2πi:  . В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой  .
  •   — единственная функция, производная (а также соответственно и первообразная) которой совпадает с исходной функцией.
  • Алгебраически экспонента от комплексного аргумента   может быть определена следующим образом:
      (формула Эйлера)

Вариации и обобщения

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

 

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора   с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы     Следовательно, экспонента от матрицы   всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение   с начальным условием   имеет своим решением  

h-экспонента

Введение  -экспоненты основано на втором замечательном пределе:

 

При   получается обычная экспонента[1].

Обратная функция

Обратная функция к экспоненциальной функции — натуральный логарифм. Обозначается  :

 

См. также

Литература

  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
  • Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Ссылки

Примечания