Эллиптическая система координат

(перенаправлено с «Эллиптические координаты»)
Эллиптическая система координат

Эллиптические координаты — двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями являются конфокальные эллипсы и гиперболы. За два фокуса и обычно берутся точки и на оси декартовой системы координат.

Основное определение

Эллиптические координаты   обычно определяются по правилу:

 

где  ,  .

Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество

 

показывает, что линии уровня   являются эллипсами, а тождество из гиперболической геометрии

 

показывает, что линии уровня   являются гиперболами.

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для эллиптических координат   равны

 

Тождества для двойного угла позволяют привести их к виду

 

Элемент площади равен:

 

а лапласиан равен

 

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат. Например, градиент скалярного поля   записывается:

 

где

 ,
 .

Другое определение

Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат  :

 

Таким образом, линии уровня   являются эллипсами, а линии уровня   являются гиперболами. При этом

 

Координаты   имеют простую связь с расстояниями до фокусов   и  . Для любой точки на плоскости

 

где   — расстояния до фокусов   соответственно.

Таким образом:

 

Напомним, что   и   находятся в точках   и   соответственно.

Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты:

 

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для альтернативных эллиптических координат   равны:

 
 

Элемент площади равен

 

а лапласиан равен

 

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.


Литература

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.

См. также